ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.348 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1)
\(
\sin(3x) > \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

2)
\(
\cos\left(\frac{x}{2}\right) < \frac{1}{2};
\)

3)
\(
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{3}}{2};
\)

4)
\(
\cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{2};
\)

5)
\(
\tan\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{3}\right) < \frac{\sqrt{3}}{2};
\)

6)
\(
\cot\left(\frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5}\right) > -1.
\)

1)
\(
\sin 3x > \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;
\)
\(
\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3};
\)

2)
\(
\cos \frac{x}{2} \leq \frac{1}{2};
\)
\(
\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{x}{2} \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;
\)
\(
\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{10\pi}{3} + 4\pi n;
\)

3)
\(
\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
\(
-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;
\)
\(
\frac{19\pi}{12} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{12} + 2\pi n;
\)

4)
\(
\cos \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) \geq -\frac{1}{2};
\)
\(
-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x — \frac{\pi}{6} \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;
\)
\(
-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;
\)
\(
-\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{12} + \pi n;
\)

5)
\(
\tan \left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{3}\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{3};
\)
\(
-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{4} + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)
\(
-\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{4} \leq -\frac{\pi}{6} + \pi n;
\)
\(
-\frac{10\pi}{3} + 4\pi n < x \leq -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n;
\)

6)
\(
\cot \left(\frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5}\right) \geq -1;
\)
\(
\pi n < \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5} \leq \frac{3\pi}{4} + \pi n;
\)
\(
\frac{\pi}{5} + \pi n \leq \frac{2x}{3} \leq \frac{19\pi}{20} + \pi n;
\)
\(
\frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{2} \leq x \leq \frac{57\pi}{40} + \frac{3\pi n}{2};
\)

1)
Решим неравенство:
\(
\sin 3x > \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;
\)
Теперь делим все части неравенства на 3:
\(
\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3};
\)

2)
Решим неравенство:
\(
\cos \frac{x}{2} \leq \frac{1}{2};
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{x}{2} \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;
\)
Теперь умножим все части неравенства на 2:
\(
\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{10\pi}{3} + 4\pi n;
\)

3)
Решим неравенство:
\(
\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;
\)
Теперь вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из всех частей неравенства:
\(
-\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n;
\)
Упрощаем границы:
\(
\frac{19\pi}{12} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{12} + 2\pi n;
\)

4)
Решим неравенство:
\(
\cos \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) \geq -\frac{1}{2};
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x — \frac{\pi}{6} \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;
\)
Теперь добавим \(\frac{\pi}{6}\) ко всем частям неравенства:
\(
-\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n;
\)
Упрощаем:
\(
-\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n;
\)
Получаем:
\(
-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;
\)
Теперь делим все части неравенства на 2:
\(
-\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{12} + \pi n;
\)

5)
Решим неравенство:
\(
\tan \left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{3}\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{3};
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{4} + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{6} + \pi n;
\)
Теперь вычтем \(\frac{\pi}{3}\) из всех частей неравенства:
\(
-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{4} < \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + \pi n;
\)
Упрощаем:
\(
-\frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{4} < -\frac{2\pi}{6} + \pi n;
\)
Получаем:
\(
-\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{4} \leq -\frac{\pi}{6} + \pi n;
\)
Теперь умножим все части неравенства на 4:
\(
-\frac{10\pi}{3} + 4\pi n < x \leq -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n;
\)

6)
Решим неравенство:
\(
\cot \left(\frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5}\right) \geq -1;
\)
Это неравенство выполняется, когда:
\(
\pi n < \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5} \leq \frac{3\pi}{4} + \pi n;
\)
Теперь добавим \(\frac{\pi}{5}\) ко всем частям неравенства:
\(
\frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{3} < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + \pi n;
\)
Упрощаем:
\(
\frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{3} < \frac{15\pi}{20} + \frac{4\pi}{20} + \pi n;
\)
Получаем:
\(
\frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{3} < \frac{19\pi}{20} + \pi n;
\)
Теперь умножим все части неравенства на \(3/2\):
\(
\frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{2} < x < \frac{57\pi}{40} + \frac{3\pi n}{2};
\)