ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.351 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4};
\)

2)
\(
(0{,}75)^{(x+1)} = \frac{16}{9};
\)

3)
\(
\sqrt{125^{(x-1)}} = \left(25^{(2-x)}\right)^{\frac{1}{3}};
\)

4)
\(
\left(\frac{6}{5}\right)^{x} \cdot \left(\frac{25}{36}\right)^{x} = \frac{125}{216};
\)

5)
\(
2^{x} \cdot 3^{(2x)} \cdot 5^{x} = 90^{(3x-7)};
\)

6)
\(
8 \cdot 7^{(2x^2 — x)} — 7 \cdot 8^{(2x^2 — x)} = 0.
\)

1)
\(
8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4};
\)
\(
2^{-\frac{3}{x}} = 2^{-2};
\)
\(
\frac{3}{x} = 2;
\)
\(
2x = 3;
\)
\(
x = 1,5;
\)
Ответ: 1,5.

2)
\(
(0{,}75)^{x+1} = \frac{16}{9};
\)
\(
\left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-2};
\)
\(
x + 1 = -2;
\)
\(
x = -3;
\)
Ответ: -3.

3)
\(
\sqrt{125^{x-1}} = \sqrt{252^{2-x}};
\)
\(
5^{\frac{3(x-1)}{2}} = 5^{\frac{2(2-x)}{3}};
\)
\(
\frac{3(x-1)}{2} = \frac{2(2-x)}{3};
\)
\(
9(x-1) = 4(2-x);
\)
\(
9x — 9 = 8 — 4x;
\)
\(
13x = 17;
\)
\(
x = \frac{17}{13};
\)
Ответ: \(\frac{17}{13}\).

4)
\(
\left(\frac{6}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{36}\right)^x = \frac{125}{216};
\)
\(
\left(\frac{5}{6}\right)^x = \left(\frac{5}{6}\right)^3;
\)
\(
x = 3;
\)
Ответ: 3.

5)
\(
2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 90^{3x-7};
\)
\(
2^x \cdot 9^x \cdot 5^x = 90^{3x-7};
\)
\(
90^x = 90^{3x-7};
\)
\(
x = 3x — 7;
\)
\(
2x = 7;
\)
\(
x = 3,5;
\)
Ответ: 3,5.

6)
\(
8 \cdot 7^{2x^2 — x} — 7 \cdot 8^{2x^2 — x} = 0;
\)
\(
8 \cdot 7^{2x^2 — x} = 7 \cdot 8^{2x^2 — x};
\)
\(
\left(\frac{7}{8}\right)^{2x^2 — x} = \frac{7}{8};
\)
\(
2x^2 — x = 1;
\)
\(
2x^2 — x — 1 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\)
Ответ: \(-\frac{1}{2}; 1\).

1)
Решим уравнение:
\(
8^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{4};
\)
Приведём обе стороны к основанию 2:
\(
8 = 2^3 \Rightarrow 8^{-\frac{1}{x}} = (2^3)^{-\frac{1}{x}} = 2^{-\frac{3}{x}}.
\)
Таким образом, уравнение становится:
\(
2^{-\frac{3}{x}} = 2^{-2};
\)
Приравняем показатели:
\(
-\frac{3}{x} = -2;
\)
Умножим обе стороны на -1:
\(
\frac{3}{x} = 2;
\)
Теперь выразим \(x\):
\(
3 = 2x \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1,5;
\)
Ответ: 1,5.

2)
Решим уравнение:
\(
(0{,}75)^{(x+1)} = \frac{16}{9};
\)
Запишем 0,75 как дробь:
\(
0{,}75 = \frac{3}{4} \Rightarrow \left(\frac{3}{4}\right)^{(x+1)} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-2};
\)
Приравняем показатели:
\(
x + 1 = -2;
\)
Вычтем 1 из обеих сторон:
\(
x = -3;
\)
Ответ: -3.

3)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{125^{(x-1)}} = \sqrt{252^{(2-x)}};
\)
Запишем 125 и 252 в виде степеней:
\(
125 = 5^3 \Rightarrow \sqrt{125^{(x-1)}} = \sqrt{(5^3)^{(x-1)}} = 5^{\frac{3(x-1)}{2}};
\)
А также:
\(
252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \Rightarrow \sqrt{252^{(2-x)}} = \sqrt{(2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^1)^{(2-x)}}.
\)
Теперь приравняем:
\(
5^{\frac{3(x-1)}{2}} = 5^{\frac{2(2-x)}{3}};
\)
Приравняем показатели:
\(
\frac{3(x-1)}{2} = \frac{2(2-x)}{3};
\)
Умножим обе стороны на 6 для устранения дробей:
\(
9(x-1) = 4(2-x);
\)
Раскроем скобки:
\(
9x — 9 = 8 — 4x;
\)
Переносим все \(x\) в одну сторону:
\(
9x + 4x = 8 + 9;
\)
Соберём подобные члены:
\(
13x = 17;
\)
Теперь найдём \(x\):
\(
x = \frac{17}{13};
\)
Ответ: \(\frac{17}{13}\).

4)
Решим уравнение:
\(
\left(\frac{6}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{36}\right)^x = \frac{125}{216};
\)
Объединим степени с одинаковым основанием:
\(
\left(\frac{6 \cdot 25}{5 \cdot 36}\right)^x = \frac{125}{216};
\)
Упростим дробь:
\(
\left(\frac{150}{180}\right)^x = \frac{125}{216} \Rightarrow \left(\frac{5}{6}\right)^x = \left(\frac{5}{6}\right)^3;
\)
Приравняем показатели:
\(
x = 3;
\)
Ответ: 3.

5)
Решим уравнение:
\(
2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 90^{3x-7};
\)
Запишем 90 в виде произведения простых множителей:
\(
90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \Rightarrow 90^{3x-7} = (2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{(3x-7)} = 2^{(3x-7)} \cdot 3^{2(3x-7)} \cdot 5^{(3x-7)};
\)
Теперь уравнение можно записать как:
\(
2^x \cdot 3^{2x} \cdot 5^x = 2^{(3x-7)} \cdot 3^{2(3x-7)} \cdot 5^{(3x-7)};
\)
Сравнив степени, получаем:
\(
2^x = 2^{(3x-7)}, \quad 3^{2x} = 3^{2(3x-7)}, \quad 5^x = 5^{(3x-7)};
\)
Приравняем показатели:
\(
x = 3x — 7;
\)
Решим уравнение:
\(
2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3,5;
\)
Ответ: 3,5.

6)
Решим уравнение:
\(
8 \cdot 7^{(2x^2 — x)} — 7 \cdot 8^{(2x^2 — x)} = 0;
\)
Переносим одно из слагаемых:
\(
8 \cdot 7^{(2x^2 — x)} = 7 \cdot 8^{(2x^2 — x)};
\)
Разделим обе стороны на \(7\):
\(
\frac{8}{7} \cdot 7^{(2x^2 — x)} = 8^{(2x^2 — x)};
\)
Запишем это в виде дроби:
\(
\left(\frac{7}{8}\right)^{(2x^2 — x)} = \frac{7}{8};
\)
Приравняем показатели:
\(
2x^2 — x = 1;
\)
Перепишем уравнение в стандартной форме:
\(
2x^2 — x — 1 = 0;
\)
Найдём дискриминант \(D\):
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9,
\)
Теперь найдём корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\)
Ответ: \(-\frac{1}{2}; 1\).