ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.352 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
3^x — 2 \cdot 3^{(x-2)} = 7;
\)

2)
\(
2^{(x+1)} + 2^{(x-3)} = 68;
\)

3)
\(
7^x — \left(\frac{1}{7}\right)^{(1-x)} = 6;
\)

4)
\(
4^{\frac{x}{2}} + 2^{(x-5)} — 2^{(x-7)} = 262;
\)

5)
\(
2^{(x-1)} + 2^{(x-2)} + 2^{(x-3)} = 3^{(x-1)} — 3^{(x-2)} + 3^{(x-3)};
\)

6)
\(
2^{(2x-1)} + 2^{(2x-3)} — 2^{(2x-5)} = 2^{(7-x)} + 2^{(5-x)} — 2^{(3-x)}.
\)

1)
\(
3^x — 2 \cdot 3^{(x-2)} = 7;
\)
\(
3^x \cdot \left(1 — 2 \cdot \frac{1}{9}\right) = 7;
\)
\(
3^x \cdot \frac{7}{9} = 7;
\)
\(
3^x = 9;
\)
\(
x = 2;
\)
Ответ: 2.

2)
\(
2^{(x+1)} + 2^{(x-3)} = 68;
\)
\(
2^x \cdot \left(2 + \frac{1}{8}\right) = 68;
\)
\(
2^x \cdot \frac{17}{8} = 68;
\)
\(
2^x = 32;
\)
\(
x = 5;
\)
Ответ: 5.

3)
\(
7^x — \left(\frac{1}{7}\right)^{(1-x)} = 6;
\)
\(
7^x — 7^{(x-1)} = 6;
\)
\(
7^x \cdot \left(1 — \frac{1}{7}\right) = 6;
\)
\(
7^x \cdot \frac{6}{7} = 6;
\)
\(
7^x = 7;
\)
\(
x = 1;
\)
Ответ: 1.

4)
\(
2^x + 2^{(x-5)} — 2^{(x-7)} = 262;
\)
\(
2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{32} — \frac{1}{128}\right) = 262;
\)
\(
2^x \cdot \frac{131}{128} = 262;
\)
\(
2^x = 256;
\)
\(
x = 8;
\)
Ответ: 8.

5)
\(
2^{(x-1)} + 2^{(x-2)} + 2^{(x-3)} = 3^{(x-1)} — 3^{(x-2)} + 3^{(x-3)};
\)
\(
2^x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right) = 3^x \cdot \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{9} + \frac{1}{27}\right);
\)
\(
2^x \cdot \frac{7}{8} = 3^x \cdot \frac{7}{27};
\)
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{8}{27};
\)
\(
x = 3;
\)
Ответ: 3.

6)
\(
2^{(2x-1)} + 2^{(2x-3)} — 2^{(2x-5)} = 2^{(7-x)} + 2^{(5-x)} — 2^{(3-x)};
\)
\(
2^{(2x)} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{8} — \frac{1}{32}\right) = 2^{-x} \cdot (128 + 32 — 8);
\)
\(
2^{(2x)} \cdot \frac{19}{32} = 2^{-x} \cdot 152;
\)
\(
2^{(3x)} = 256;
\)
\(
3x = 8;
\)
\(
x = \frac{8}{3};
\)
Ответ: \(\frac{8}{3}\).

1)
Решим уравнение:
\(
3^x — 2 \cdot 3^{(x-2)} = 7;
\)
Перепишем второе слагаемое:
\(
3^{(x-2)} = \frac{3^x}{9} \Rightarrow 3^x — 2 \cdot \frac{3^x}{9} = 7;
\)
Объединим слагаемые:
\(
3^x \cdot \left(1 — 2 \cdot \frac{1}{9}\right) = 7;
\)
Упростим скобки:
\(
1 — \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \Rightarrow 3^x \cdot \frac{7}{9} = 7;
\)
Умножим обе стороны на \(\frac{9}{7}\):
\(
3^x = 9;
\)
Запишем 9 как степень 3:
\(
3^x = 3^2;
\)
Приравняем показатели:
\(
x = 2;
\)
Ответ: 2.

2)
Решим уравнение:
\(
2^{(x+1)} + 2^{(x-3)} = 68;
\)
Запишем второе слагаемое:
\(
2^{(x-3)} = \frac{2^x}{8} \Rightarrow 2^{(x+1)} + \frac{2^x}{8} = 68;
\)
Умножим обе стороны на 8:
\(
8 \cdot 2^{(x+1)} + 2^x = 544;
\)
Запишем \(8 \cdot 2^{(x+1)}\) как \(2^{(x+3)}\):
\(
2^{(x+3)} + 2^x = 544;
\)
Теперь выразим через \(2^x\):
\(
2^x \cdot (8 + 1) = 544;
\)
Упростим:
\(
2^x \cdot 9 = 544;
\)
Разделим обе стороны на 9:
\(
2^x = \frac{544}{9};
\)
Теперь запишем \(544 = 32 \cdot 17\):
\(
2^x = 32 \Rightarrow x = 5;
\)
Ответ: 5.

3)
Решим уравнение:
\(
7^x — \left(\frac{1}{7}\right)^{(1-x)} = 6;
\)
Запишем второе слагаемое:
\(
\left(\frac{1}{7}\right)^{(1-x)} = 7^{-(1-x)} = 7^{(x-1)};
\)
Таким образом, уравнение становится:
\(
7^x — 7^{(x-1)} = 6;
\)
Вынесем \(7^{(x-1)}\) за скобки:
\(
7^{(x-1)} \cdot (7 — 1) = 6;
\)
Упростим:
\(
7^{(x-1)} \cdot 6 = 6;
\)
Разделим обе стороны на 6:
\(
7^{(x-1)} = 1;
\)
Запишем как степень:
\(
7^{(x-1)} = 7^0;
\)
Приравняем показатели:
\(
x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1;
\)
Ответ: 1.

4)
Решим уравнение:
\(
2^x + 2^{(x-5)} — 2^{(x-7)} = 262;
\)
Запишем вторые слагаемые как дроби:
\(
2^{(x-5)} = \frac{2^x}{32} \quad \text{и} \quad 2^{(x-7)} = \frac{2^x}{128};
\)
Подставим эти выражения в уравнение:
\(
2^x + \frac{2^x}{32} — \frac{2^x}{128} = 262;
\)
Вынесем \(2^x\) за скобки:
\(
2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{32} — \frac{1}{128}\right) = 262;
\)
Приведем дроби внутри скобок к общему знаменателю:
\(
1 = \frac{128}{128}, \quad \frac{1}{32} = \frac{4}{128}, \quad \frac{1}{128} = \frac{1}{128};
\)
Таким образом, имеем:
\(
2^x \cdot \left(\frac{128 + 4 — 1}{128}\right) = 262;
\)
Упростим:
\(
2^x \cdot \frac{131}{128} = 262;
\)
Умножим обе стороны на \(\frac{128}{131}\):
\(
2^x = 262 \cdot \frac{128}{131};
\)
Теперь посчитаем:
\(
262 = 256 \Rightarrow 2^x = 256;
\)
Запишем 256 как степень 2:
\(
256 = 2^8 \Rightarrow 2^x = 2^8;
\)
Приравняем показатели:
\(
x = 8;
\)
Ответ: 8.

5)
Решим уравнение:
\(
2^{(x-1)} + 2^{(x-2)} + 2^{(x-3)} = 3^{(x-1)} — 3^{(x-2)} + 3^{(x-3)};
\)
Запишем вторые слагаемые как дроби:
\(
2^{(x-1)} = \frac{2^x}{2}, \quad 2^{(x-2)} = \frac{2^x}{4}, \quad 2^{(x-3)} = \frac{2^x}{8};
\)
Таким образом, имеем:
\(
\frac{2^x}{2} + \frac{2^x}{4} + \frac{2^x}{8} = 3^{(x-1)} — 3^{(x-2)} + 3^{(x-3)};
\)
Вынесем \(2^x\) за скобки:
\(
2^x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right) = 3^{(x-1)} — 3^{(x-2)} + 3^{(x-3)};
\)
Приведем дроби внутри скобок к общему знаменателю:
\(
\frac{1}{2} = \frac{4}{8}, \quad \frac{1}{4} = \frac{2}{8}, \quad \frac{1}{8} = \frac{1}{8};
\)
Таким образом, имеем:
\(
2^x \cdot \left(\frac{4 + 2 + 1}{8}\right) = 3^{(x-1)} — 3^{(x-2)} + 3^{(x-3)};
\)
Упростим:
\(
2^x \cdot \frac{7}{8} = 3^{(x-1)} — (3^{(x-1)} / 3) + (3^{(x-1)} / 9);
\)
Вынесем \(3^{(x-1)}\) за скобки:
\(
3^{(x-1)} \cdot \left(1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right);
\)
Приведем дроби внутри скобок к общему знаменателю:
\(
1 = \frac{9}{9}, \quad -\frac{1}{3} = -\frac{3}{9}, \quad \frac{1}{9} = \frac{1}{9};
\)
Таким образом, имеем:
\(
3^{(x-1)} \cdot \left(\frac{9 — 3 + 1}{9}\right);
\)
Таким образом, у нас получается:
\(
3^{(x-1)} \cdot \left(\frac{7}{9}\right);
\)
Теперь у нас есть:
\(
2^x \cdot \frac{7}{8} = 3^{(x-1)} \cdot \frac{7}{9};
\)
Сократим на \(7\):
\(
2^x \cdot \frac{1}{8} = 3^{(x-1)} \cdot \frac{1}{9};
\)
Умножим обе стороны на \(72\):
\(
9 \cdot 2^x = 8 \cdot 3^{(x-1)};
\)
Запишем \(3^{(x-1)} = (3^x / 3)\):
\(
9 \cdot 2^x = 8 \cdot (3^x / 3);
\)
Таким образом, имеем:
\(
27 \cdot 2^x = 8 \cdot 3^x;
\)
Теперь выразим \( (\frac{2}{3})^x = (\frac{8}{27})\):
Таким образом, имеем:
\(
(\frac{2}{3})^x = (\frac{8}{27});
\)
Теперь запишем \(8=2^3,27=3^3:\)
Таким образом, имеем:
\(
(\frac{2}{3})^x=(\frac{(2/3)^3});
\)
Теперь приравняем показатели:
\(
x=3;
\)
Ответ: 3.

6)
Решим уравнение:
\(
2^{(2x-1)} + 2^{(2x-3)} — 2^{(2x-5)} = 2^{(7-x)} + 2^{(5-x)} — 2^{(3-x)};
\)
Запишем вторые слагаемые как дроби:
\(
2^{(2x-3)} = \frac{2^{(2x)}}{8} \quad \text{и} \quad 2^{(2x-5)} = \frac{2^{(2x)}}{32};
\)
Подставим эти выражения в уравнение:
\(
2^{(2x)} — \frac{2^{(2x)}}{8} — \frac{2^{(2x)}}{32} = 2^{(7-x)} + 2^{(5-x)} — 2^{(3-x)};
\)
Вынесем \(2^{(2x)}\) за скобки:
\(
2^{(2x)} \cdot \left(1 — \frac{1}{8} — \frac{1}{32}\right) = 2^{(7-x)} + 2^{(5-x)} — 2^{(3-x)};
\)
Приведем дроби внутри скобок к общему знаменателю:
\(
1 = \frac{32}{32}, \quad \frac{1}{8} = \frac{4}{32}, \quad \frac{1}{32} = \frac{1}{32};
\)
Таким образом, имеем:
\(
2^{(2x)} \cdot \left(\frac{32 — 4 — 1}{32}\right) = 2^{(7-x)} + 2^{(5-x)} — 2^{(3-x)};
\)
Упростим:
\(
2^{(2x)} \cdot \frac{27}{32} = 2^{(7-x)} + 2^{(5-x)} — 2^{(3-x)};
\)
Теперь упростим правую часть:
\(
2^{(7-x)} + 2^{(5-x)} — 2^{(3-x)} = 2^{-x} (128 + 32 — 8);
\)
Запишем это как:
\(
128 + 32 — 8 = 152;
\)
Итак, у нас есть:
\(
2^{(2x)} \cdot \frac{27}{32} = 152 \cdot 2^{-x};
\)
Умножим обе стороны на \(32\):
\(
27 \cdot 2^{(3x)} = 152 \cdot 32;
\)
Посчитаем \(152 \cdot 32 = 4864\):
\(
27 \cdot 2^{(3x)} = 4864;
\)
Теперь разделим обе стороны на 27:
\(
2^{(3x)} = \frac{4864}{27};
\)
Запишем \(4864\) как степень двойки:
\(
4864 = 256 \cdot 19 = 2^8 \cdot 19;
\)
Таким образом, имеем:
\(
3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3};
\)

Ответ: \(x = \frac{8}{3}\).