ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.353 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
4^x — 14 \cdot 2^x — 32 = 0;
\)

2)
\(
9^x + 3^x — 6 = 0;
\)

3)
\(
49^x + 2 \cdot 7^x — 35 = 0;
\)

4)
\(
\frac{16 — 3^{(2x)}}{3^x + 4} = 1;
\)

5)
\(
8^{\frac{2}{x}} — 2^{\frac{(3x+3)}{x}} + 12 = 0;
\)

6)
\(
9 — 2^x = 2^{(3-x)};
\)

7)
\(
2^{\sin^2(x)} + 5 \cdot 2^{\cos^2(x)} = 7;
\)

8)
\(
(0.2)^{(2x-2)} — 126 \cdot (0.2)^x + 5 = 0;
\)

9)
\(
3^{(1 + \sqrt{x+1})} = 28 — 3^{(2 — \sqrt{x+1})};
\)

10)
\(
\frac{5}{3^{(x-1)}} — \frac{2}{(3^x — 1)} = 4.
\)

1)
\(
4^x — 14 \cdot 2^x — 32 = 0;
\)
\(
D = 14^2 + 4 \cdot 32 = 196 + 128 = 324,
\)
тогда:
\(
2_1^x = \frac{14 — 18}{2} = -2 \quad \text{и} \quad 2_2^x = \frac{14 + 18}{2} = 16;
\)
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = 4;
\)
Ответ: 4.

2)
\(
9^x + 3^x — 6 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)
тогда:
\(
3_1^x = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad 3_2^x = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = \log_3 2;
\)
Ответ: \(\log_3 2\).

3)
\(
49^x + 2 \cdot 7^x — 35 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144,
\)
тогда:
\(
7_1^x = \frac{-2 — 12}{2} = -7 \quad \text{и} \quad 7_2^x = \frac{-2 + 12}{2} = 5;
\)
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = \log_7 5;
\)
Ответ: \(\log_7 5\).

4)
\(
\frac{16 — 3^{(2x)}}{3^x + 4} = 1;
\)
\(
16 — 3^{(2x)} = 3^x + 4;
\)
\(
3^{(2x)} + 3^x — 12 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
3_1^x = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad 3_2^x = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\)
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = 1;
\)
Ответ: 1.

5)
\(
8^{\frac{2}{x}} — 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0;
\)
\(
8^{\frac{2}{x}} — 8^{\frac{x+1}{x}} + 12 = 0;
\)
\(
8^{\frac{2}{x}} — 8 \cdot 8^{\frac{1}{x}} + 12 = 0;
\)
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16,
\)
тогда:
\(
8^{\frac{1}{x}}_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad 8^{\frac{1}{x}}_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6;
\)
\(
\frac{1}{x_1} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{1}{x_2} = \log_8 6;
\)
\(
x_1 = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \log_6 8;
\)
Ответ: 3; \(\log_6 8\).

6)
\(
9 — 2^x = 2^{(3-x)};
\)
\(
9 \cdot 2^x — 2^{(2x)} = 2^3;
\)
\(
2^{(2x)} — 9 \cdot 2^x + 8 = 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49,
\)
тогда:
\(
2_1^x = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad 2_2^x = \frac{9 + 7}{2} = 8;
\)
\(
x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 3;
\)
Ответ: 0; 3.

7)
\(
2^{\sin^2 x} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} = 7;
\)
\(
2^{(1 — \cos^2 x)} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} — 7 = 0;
\)
\(
5 \cdot 2^{(2 \cos^2 x)} — 7 \cdot 2^{\cos^2 x} + 2 = 0;
\)
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9,
\)
тогда:
\(
2^{\cos^2 x}_1 = \frac{7 — 3}{2 \cdot 5} = \frac{2}{5} \quad \text{и} \quad 2^{\cos^2 x}_2 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = 1;
\)
\(
\cos^2 x_1 = \log_2 \frac{2}{5} \quad \text{и} \quad \cos^2 x_2 = 0;
\)
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
Ответ: \(\frac{\pi}{2} + \pi n\).

8)
\(
(0{,}2)^{(2x-2)} — 126 \cdot (0{,}2)^x + 5 = 0;
\)
\(
25 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{(2x)} — 126 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x + 5 = 0;
\)
\(
D = 126^2 — 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15\,876 — 500 = 15\,376,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{1}{5}\right)^{(x)}_1 = \frac{126 — 124}{2 \cdot 25} = \frac{1}{25} \quad \text{и} \quad \left(\frac{1}{5}\right)^{(x)}_2 = \frac{126 + 124}{2 \cdot 25} = 5;
\)
\(
x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -1;
\)
Ответ: \(-1; 2\).

9)
\(
3^{(1 + \sqrt{x+1})} = 28 — 3^{(2 — \sqrt{x+1})};
\)
\(
3 \cdot 3^{(2\sqrt{x+1})} = 28 \cdot 3^{(\sqrt{x+1})} — 3^2;
\)
\(
3 \cdot 3^{(2\sqrt{x+1})} — 28 \cdot 3^{(\sqrt{x+1})} + 9 = 0;
\)
\(
D = 28^2 — 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 — 108 = 676,
\)
тогда:
\(
3^{(\sqrt{x+1})}_1 = \frac{28 — 26}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad 3^{(\sqrt{x+1})}_2 = \frac{28 + 26}{2 \cdot 3} = 9;
\)
\(
\sqrt{x_1 + 1} = -1 \quad \text{(нет решения)} \quad \text{и} \quad \sqrt{x_2 + 1} = 2;
\)
\(
x_1 \in \emptyset , \quad x_2 = 3;
\)
Ответ: 3.

10)
\(
\frac{5}{3^{(x-1)}} — \frac{2}{3^{(x)} — 1} = 4;
\)
\(
5(3^{(x)} — 1) — 2 \cdot 3^{(x-1)} = 4 \cdot 3^{(x-1)} \cdot (3^{(x)} — 1);
\)
\(
5 \cdot 3^{(x)} — 5 — 2 \cdot 3^{(x-1)} = 4 \cdot 3^{(2x-1)} — 4 \cdot 3^{(x-1)};
\)
\(
15 \cdot 3^{(x)} — 15 — 2 \cdot 3^{(x)} = 4 \cdot 3^{(2x)} — 4 \cdot 3^{(x)};
\)
\(
4 \cdot 3^{(2x)} — 17 \cdot 3^{(x)} + 15 = 0;
\)
\(
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 — 240 = 49,
\)
тогда:
\(
3^{(x)}_1 = \frac{17 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{5}{4} \quad \text{и} \quad 3^{(x)}_2 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 4} = 3;
\)
\(
x_1 = \log_3 \frac{5}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = 1;
\)
Ответ: \(1; \log_3 \frac{5}{4}\).

1)
Решить уравнение:
\(
4^x — 14 \cdot 2^x — 32 = 0;
\)
Сделаем замену:
\(
2^{2x} — 14 \cdot 2^x — 32 = 0;
\)
Обозначим \(y = 2^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
y^2 — 14y — 32 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{14 — 18}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{14 + 18}{2} = 16;
\)
Поскольку \(y_1 < 0\), то:
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad y_2 = 16 \Rightarrow x_2 = 4;
\)
Ответ: 4.

2)
Решить уравнение:
\(
9^x + 3^x — 6 = 0;
\)
Сделаем замену:
\(
(3^x)^2 + 3^x — 6 = 0;
\)
Обозначим \(z = 3^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
z^2 + z — 6 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25,
\)
тогда:
\(
z_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)
Поскольку \(z_1 < 0\), то:
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad z_2 = 2 \Rightarrow x_2 = \log_3 2;
\)
Ответ: \(\log_3 2\).

3)
Решить уравнение:
\(
49^x + 2 \cdot 7^x — 35 = 0;
\)
Сделаем замену:
\(
(7^x)^2 + 2 \cdot 7^x — 35 = 0;
\)
Обозначим \(w = 7^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
w^2 + 2w — 35 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144,
\)
тогда:
\(
w_1 = \frac{-2 — 12}{2} = -7 \quad \text{и} \quad w_2 = \frac{-2 + 12}{2} = 5;
\)
Поскольку \(w_1 < 0\), то:
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad w_2 = 5 \Rightarrow x_2 = \log_7 5;
\)
Ответ: \(\log_7 5\).

4)
Решить уравнение:
\(
\frac{16 — 3^{(2x)}}{3^x + 4} = 1;
\)
Умножим обе стороны на \(3^x + 4\):
\(
16 — 3^{(2x)} = 3^x + 4;
\)
Переносим все в одну сторону:
\(
3^{(2x)} + 3^x — 12 = 0;
\)
Сделаем замену:
\(
(3^x)^2 + 3^x — 12 = 0;
\)
Обозначим \(u = 3^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
u^2 + u — 12 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
u_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\)
Поскольку \(u_1 < 0\), то:
\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad u_2 = 3 \Rightarrow x_2 = 1;
\)
Ответ: 1.

5)
Решить уравнение:
\(
8^{\frac{2}{x}} — 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0;
\)
Запишем \(2^{\frac{3x+3}{x}}\) как \(8^{\frac{x+1}{x}}\):
\(
8^{\frac{2}{x}} — 8^{\frac{x+1}{x}} + 12 = 0;
\)
Запишем \(8^{\frac{x+1}{x}}\) как \(8 \cdot 8^{\frac{1}{x}}\):
\(
8^{\frac{2}{x}} — 8 \cdot 8^{\frac{1}{x}} + 12 = 0;
\)
Сделаем замену:
\(y = 8^{\frac{1}{x}}\), тогда уравнение примет вид:
\(
y^2 — 8y + 12 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6;
\)
Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(
\frac{1}{x_1} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{1}{x_2} = \log_8 6;
\)
Тогда:
\(
x_1 = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \log_6 8;
\)
Ответ: \(3; \log_6 8\).

6)
Решить уравнение:
\(
9 — 2^x = 2^{(3-x)};
\)
Переносим все слагаемые на одну сторону:
\(
9 \cdot 2^x — 2^{(2x)} = 2^3;
\)
Запишем уравнение в стандартной форме:
\(
2^{(2x)} — 9 \cdot 2^x + 8 = 0;
\)
Сделаем замену:
\(y = 2^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
y^2 — 9y + 8 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;
\)
Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(
x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 3;
\)
Ответ: \(0; 3\).

7)
Решить уравнение:
\(
2^{\sin^2 x} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} = 7;
\)
Запишем \(2^{\cos^2 x}\) как \(2^{(1 — \sin^2 x)}\):
\(
2^{(1 — \cos^2 x)} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} — 7 = 0;
\)
Сделаем замену:
\(z = 2^{\cos^2 x}\), тогда уравнение примет вид:
\(
5z^2 — 7z + 2 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9,
\)
тогда:
\(
z_1 = \frac{7 — 3}{2 \cdot 5} = \frac{2}{5} \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = 1;
\)
Теперь найдем значения для \(x\):
Для первого корня:
\(2^{\cos^2 x_1} = \frac{2}{5} \Rightarrow \cos^2 x_1 = \log_2 \left(\frac{2}{5}\right); \quad x_1 \in \emptyset;\)
Для второго корня:
\(z_2 = 1 \Rightarrow \cos^2 x_2 = 0; \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;\)
Ответ: \(\frac{\pi}{2} + \pi n.\)

8)
Решить уравнение:
\(
(0{,}2)^{(2x-2)} — 126 \cdot (0{,}2)^x + 5 = 0;
\)
Запишем \(0{,}2\) как \(\frac{1}{5}\):
\(
\left(\frac{1}{5}\right)^{(2x-2)} — 126 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x + 5 = 0;
\)
Упростим уравнение:
\(
25 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{(2x)} — 126 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x + 5 = 0;
\)
Обозначим \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
25y^2 — 126y + 5 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-126)^2 — 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15\,876 — 500 = 15\,376,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{126 — \sqrt{D}}{2 \cdot 25} = \frac{126 — 124}{50} = \frac{1}{25} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{126 + \sqrt{D}}{2 \cdot 25} = \frac{126 + 124}{50} = 5;
\)
Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(
y_1 = \left(\frac{1}{5}\right)^{(x_1)} = \frac{1}{25} \Rightarrow x_1 = 2,
\)
\(
y_2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{(x_2)} = 5 \Rightarrow x_2 = -1;
\)
Ответ: \(-1; 2\).

9)
Решить уравнение:
\(
3^{(1 + \sqrt{x+1})} = 28 — 3^{(2 — \sqrt{x+1})};
\)
Умножим обе стороны на \(3^{(\sqrt{x+1})}\):
\(
3 \cdot 3^{(2\sqrt{x+1})} = 28 \cdot 3^{(\sqrt{x+1})} — 3^2;
\)
Перепишем уравнение:
\(
3 \cdot 3^{(2\sqrt{x+1})} — 28 \cdot 3^{(\sqrt{x+1})} + 9 = 0;
\)
Обозначим \(z = 3^{(\sqrt{x+1})}\), тогда уравнение примет вид:
\(
3z^2 — 28z + 9 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (-28)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 — 108 = 676,
\)
тогда:
\(
z_1 = \frac{28 — \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{28 — 26}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{28 + \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 26}{6} = 9;
\)
Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(
z_1 = 3^{(\sqrt{x_1 + 1})} = \frac{1}{3} \Rightarrow \sqrt{x_1 + 1} = -1 \quad (\text{нет решения}),
\)
\(
z_2 = 3^{(\sqrt{x_2 + 1})} = 9 \Rightarrow \sqrt{x_2 + 1} = 2,
\)
отсюда:
\(
x_2 + 1 = 4 \Rightarrow x_2 = 3;
\)
Ответ: \(3\).

10)
Решить уравнение:
\(
\frac{5}{3^{(x-1)}} — \frac{2}{3^{(x)} — 1} = 4;
\)
Умножим обе стороны на \(3^{(x)} — 1\):
\(
5(3^{(x)} — 1) — 2 \cdot 3^{(x-1)} = 4(3^{(x-1)})(3^{(x)} — 1);
\)
Раскроем скобки:
\(
5 \cdot 3^{(x)} — 5 — 2 \cdot 3^{(x-1)} = 4 \cdot 3^{(2x-1)} — 4 \cdot 3^{(x-1)};
\)
Упростим уравнение:
\(
15 \cdot 3^{(x)} — 15 — 2 \cdot 3^{(x)} = 4 \cdot 3^{(2x)} — 4 \cdot 3^{(x)};
\)
Соберем все члены в одной части:
\(
4 \cdot 3^{(2x)} — (17 \cdot 3^{(x)} — 15) = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = (17)^2 — 4 \cdot (4)(15) = 289 — 240 = 49,
\)
тогда:
\(
3^{(x)}_1 = \frac{17 — \sqrt{D}}{2 \cdot 4} = \frac{17 — 7}{8} = \frac{5}{4} \quad \text{и} \quad 3^{(x)}_2 = \frac{17 + \sqrt{D}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 7}{8} = 3;
\)
Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(
x_1 = \log_3{\frac{5}{4}} \quad \text{и} \quad x_2 = 1;
\)
Ответ: \(1; \log_3{\frac{5}{4}}\).