ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.354 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
3^x — 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} — 50 \cdot 2^x = 0;
\)

2)
\(
3^{(2x+4)} + 45 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^{(2x+2)} = 0;
\)

3)
\(
5^{(2x+1)} — 3 \cdot 10^x = 2^{(2x+1)};
\)

4)
\(
7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0.
\)

1)
\(
3^x — 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} — 50 \cdot 2^x = 0;
\)
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x — 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} — 50 = 0;
\)
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 50 = 25 + 20 = 225,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x_1 = \frac{5 — 15}{2} = -5 \quad \text{и} \quad \left(\frac{3}{2}\right)^x_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10;
\)
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = \log_{1.5} 10;
\)
Ответ: \(\log_{1.5} 10\).

2)
\(
3^{(2x+4)} + 45 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^{(2x+2)} = 0;
\)
\(
81 \cdot 3^{(2x)} + 45 \cdot 6^x — 36 \cdot 2^{(2x)} = 0;
\)
\(
81 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{(2x)} + 45 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x — 36 = 0;
\)
\(
9 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{(2x)} + 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x — 4 = 0;
\)
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 25 + 144 = 169,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x_1 = \frac{-5 — 13}{2 \cdot 9} = -1 \quad \text{и} \quad \left(\frac{3}{2}\right)^x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{4}{9};
\)
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = -2;
\)
Ответ: \(-2\).

3)
\(
5^{2x+1} — 3 \cdot 10^x = 2^{2x+1};
\)
\(
5 \cdot 5^{2x} — 3 \cdot 10^x — 2 \cdot 2^{2x} = 0;
\)
\(
5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} — 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x — 2 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 + 40 = 49,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{5}{2}\right)^x_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 5} = -\frac{2}{5} \quad \text{и} \quad \left(\frac{5}{2}\right)^x_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = 1;
\)
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = 0;
\)
Ответ: \(0\).

4)
\(
7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0;
\)
\(
7 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{2x^2} — 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} + 2 = 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 — 56 = 25,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}_1 = \frac{9 — 5}{2 \cdot 7} = \frac{2}{7} \quad \text{и} \quad \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = 1;
\)
\(
x_1^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \pm 1, \quad x_2^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 0;
\)
Ответ: \(-1; 0; 1\).

1)
Решить уравнение:
\(
3^x — 5 \cdot 6^{\frac{x}{2}} — 50 \cdot 2^x = 0;
\)
Перепишем уравнение:
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x — 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} — 50 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 50 = 25 + 200 = 225,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x_1 = \frac{5 — 15}{2} = -5 \quad \text{и} \quad \left(\frac{3}{2}\right)^x_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10;
\)
Поскольку \(x_1\) не имеет решения:
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = \log_{1.5} 10;
\)
Ответ: \(\log_{1.5} 10\).

2)
Решить уравнение:
\(
3^{(2x+4)} + 45 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^{(2x+2)} = 0;
\)
Перепишем уравнение:
\(
81 \cdot 3^{(2x)} + 45 \cdot 6^x — 36 \cdot 2^{(2x)} = 0;
\)
Далее, преобразуем:
\(
81 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{(2x)} + 45 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x — 36 = 0;
\)
Упрощаем:
\(
9 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{(2x)} + 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x — 4 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 25 + 144 = 169,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{3}{2}\right)^x_1 = \frac{-5 — 13}{2 \cdot 9} = -1 \quad \text{и} \quad \left(\frac{3}{2}\right)^x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{4}{9};
\)
Поскольку \(x_1\) не имеет решения:
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = -2;
\)
Ответ: \(-2\).

3)
Решить уравнение:
\(
5^{(2x+1)} — 3 \cdot 10^x = 2^{(2x+1)};
\)
Перепишем уравнение:
\(
5 \cdot 5^{(2x)} — 3 \cdot 10^x — 2 \cdot 2^{(2x)} = 0;
\)
Далее, преобразуем:
\(
5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{(2x)} — 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x — 2 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 + 40 = 49,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{5}{2}\right)^x_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 5} = -\frac{2}{5} \quad \text{и} \quad \left(\frac{5}{2}\right)^x_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = 1;
\)
Поскольку \(x_1\) не имеет решения:
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = 0;
\)
Ответ: \(0\).

4)
Решить уравнение:
\(
7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0;
\)
Перепишем уравнение:
\(
7 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{(2x^2)} — 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{(x^2)} + 2 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 — 56 = 25,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}_1 = \frac{9 — 5}{2 \cdot 7} = \frac{2}{7} \quad \text{и} \quad \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = 1;
\)
Из этого следует, что:
\(x_1^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \pm 1, \quad x_2^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 0;\)
Ответ: \(-1; 0; 1\).