ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.355 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1)
\(
\left(\frac{1}{27}\right)^{(2-x)} > 9^{(2x-1)};
\)

2)
\(
1 < 10^{(x+1)} < 100000;
\)

3)
\(
0,04 < 5^{(2-x)} < 25;
\)

4)
\(
1,3^{(x^2-4x+2)} < 1,69;
\)

5)
\(
0,4^{(x^2+2x+2)} < 0,16;
\)

6)
\(
4,5^{\frac{(x^2-9x+14)}{(x-3)}} > 1;
\)

7)
\(
0,9^{\frac{(6-x)}{(x^2-2x-3)}} < 1;
\)

8)
\(
7 \cdot 343^{\frac{(2x^2+1)}{x}} — 49^{(3x)} < 0.
\)

1)
\(
\left(\frac{1}{27}\right)^{(2-x)} > 9^{(2x-1)};
\)
\(
3^{-3(2-x)} > 3^{2(2x-1)};
\)
\(
-6 + 3x > 4x — 2;
\)
\(
x < -4;
\)
Ответ: \((- \infty; -4)\).

2)
\(
1 < 10^{(x+1)} \leq 100000;
\)
\(
0 < x+1 \leq 5;
\)
\(
-1 < x \leq 4;
\)
Ответ: \([-1; 4]\).

3)
\(
0.04 \leq 5^{(2-x)} \leq 25;
\)
\(
-2 \leq 2 — x \leq 2;
\)
\(
-4 \leq -x \leq 0;
\)
\(
0 \leq x \leq 4;
\)
Ответ: \([0; 4]\).

4)
\(
1.3^{(x^2 — 4x + 2)} \leq 1.69;
\)
\(
x^2 — 4x + 2 \leq 2;
\)

\(
x^2 — 4x \leq 0;
\)
\(
x(x — 4) \leq 0;
\)
\(
0 \leq x \leq 4;
\)
Ответ: \([0; 4]\).

5)
\(
0.4^{(x^2 + 2x + 2)} \leq 0.16;
\)
\(
0.4^{(x^2 + 2x + 2)} \leq 0.4^2;
\)
\(
x^2 + 2x + 2 \geq 2;
\)
\(
x^2 + 2x \geq 0;
\)
\(
x(x + 2) \geq 0;
\)
\(
x \leq -2, \quad x \geq 0;
\)
Ответ: \((-\infty; -2] \cup [0; +\infty)\).

6)
\(
4.5^{\frac{x^2 — 9x + 1}{x — 3}} \geq 1;
\)
\(
\frac{x^2 — 9x + 14}{x — 3} \geq 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 14 = 81 — 56 = 25, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7;
\)
\(
\frac{(x — 2)(x — 7)}{x — 3} \geq 0;
\)
\(
2 \leq x < 3, \quad x \geq 7;
\)
Ответ: \([2; 3) \cup [7; +\infty)\).

7)
\(
0.9^{\frac{6 — x}{x^2 — 2x — 3}} \leq 1;
\)
\(
\frac{6 — x}{x^2 — 2x — 3} \geq 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
\(
\frac{x — 6}{(x + 1)(x — 3)} \leq 0;
\)
\(
x < -1, \quad 3 < x \leq 6;
\)
Ответ: \((-\infty; -1) \cup (3; 6]\).

8)
\(
7 \cdot 343^{\frac{2x^2 + 1}{x}} — 49^{3x} < 0;
\)
\(
7 \cdot 7^{3 \cdot \frac{2x^2 + 1}{x}} < 7^{2 \cdot 3x};
\)
\(
7^{1 + \frac{6x^2 + 3}{x}} < 7^{6x};
\)
\(
1 + 6x + \frac{3}{x} < 6x;
\)
\(
\frac{3}{x} < 0;
\)
\(
-3 < x < 0;
\)
Ответ: \((-3; 0)\).

1)
Решить неравенство:
\(
\left(\frac{1}{27}\right)^{(2-x)} > 9^{(2x-1)};
\)
Запишем \( \frac{1}{27} \) как \( 3^{-3} \) и \( 9 \) как \( 3^2 \):
\(
3^{-3(2-x)} > 3^{2(2x-1)};
\)
Сравниваем показатели:
\(
-3(2-x) > 2(2x-1);
\)
Раскроем скобки:
\(
-6 + 3x > 4x — 2;
\)
Переносим все члены, содержащие \( x \), в одну сторону:
\(
-6 + 3x — 4x > -2;
\)
Упрощаем:
\(
-6 — x > -2;
\)
Добавляем \( x \) и \( 2 \) к обеим сторонам:
\(
-6 + 2 > x;
\)
Итак, получаем:
\(
x < -4;
\)
Ответ: \((- \infty; -4)\).

2)
Решить неравенство:
\(
1 < 10^{(x+1)} \leq 100000;
\)
Первое неравенство:
\(
1 < 10^{(x+1)} \Rightarrow 0 < x + 1 \Rightarrow -1 < x.
\)
Второе неравенство:
\(
10^{(x+1)} \leq 100000 \Rightarrow x + 1 \leq 5 \Rightarrow x \leq 4.
\)
Объединяя оба неравенства, получаем:
\(
-1 < x \leq 4;
\)
Ответ: \((-1; 4]\).

3)
Решить неравенство:
\(
0.04 \leq 5^{(2-x)} \leq 25;
\)
Запишем \(0.04\) как \(5^{-2}\) и \(25\) как \(5^2\):
\(
5^{-2} \leq 5^{(2-x)} \leq 5^2.
\)
Сравниваем показатели:
\(-2 \leq 2 — x \leq 2.\)
Решим первое неравенство:
\(-2 \leq 2 — x \Rightarrow -2 — 2 \leq -x \Rightarrow -4 \leq -x \Rightarrow 4 \geq x.\)

Решим второе неравенство:
\(2 — x \leq 2 \Rightarrow -x \leq 0 \Rightarrow x \geq 0.\)

Таким образом, объединяем оба результата:
\(0 \leq x \leq 4;\)
Ответ: \([0; 4]\).

4)
Решить неравенство:
\(
1.3^{(x^2 — 4x + 2)} \leq 1.69;
\)
Запишем \(1.69\) как \(1.3^2\):
\(
1.3^{(x^2 — 4x + 2)} \leq 1.3^2.
\)
Сравниваем показатели:
\(x^2 — 4x + 2 \leq 2.\)

Упрощаем неравенство:
\(x^2 — 4x \leq 0;\)

Факторизуем:
\(x(x — 4) \leq 0;\)

Находим корни: \(x = 0\) и \(x = 4.\)

Теперь определим знак произведения. Рассмотрим интервалы:
— Для \(x < 0\): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
— Для \(0 < x < 4\): первый множитель положительный, второй отрицательный, произведение отрицательное или нулевое.
— Для \(x > 4\): оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, решением является интервал:
\(0 \leq x \leq 4;\)
Ответ: \([0; 4]\).

5)
Решить неравенство:
\(
0.4^{(x^2 + 2x + 2)} \leq 0.16;
\)
Запишем \( 0.16 \) как \( 0.4^2 \):
\(
0.4^{(x^2 + 2x + 2)} \leq 0.4^2;
\)
Поскольку основание \( 0.4 < 1 \), неравенство меняет знак:
\(
x^2 + 2x + 2 \geq 2;
\)
Упрощаем:
\(
x^2 + 2x \geq 0;
\)
Факторизуем:
\(
x(x + 2) \geq 0;
\)
Находим нули: \( x = 0 \) и \( x = -2 \). Определяем знаки на интервалах:
1. \( x < -2 \): оба множителя отрицательны, произведение положительно.
2. \( -2 < x < 0 \): первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно.
3. \( x > 0 \): оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, решение:
\(
x \leq -2, \quad x \geq 0;
\)
Ответ: \((-\infty; -2] \cup [0; +\infty)\).

6)
Решить неравенство:
\(
4.5^{\frac{x^2 — 9x + 1}{x — 3}} \geq 1;
\)
Преобразуем:
\(
\frac{x^2 — 9x + 14}{x — 3} \geq 0;
\)
Факторизуем числитель:
\(
x^2 — 9x + 14 = (x — 2)(x — 7);
\)
Таким образом, мы имеем:
\(
\frac{(x — 2)(x — 7)}{(x — 3)} \geq 0;
\)
Находим нули: \( x = 2, x = 7, x = 3 \). Определяем знаки на интервалах:
1. \( x < 2 \): оба множителя отрицательны, дробь положительна.
2. \( 2 < x < 3 \): первый множитель положителен, второй отрицателен, дробь отрицательна.
3. \( 3 < x < 7 \): оба множителя положительны, дробь положительна.
4. \( x > 7 \): все множители положительны, дробь положительна.

Таким образом, решение:
\(
2 \leq x < 3, \quad x \geq 7;
\)
Ответ: \([2; 3) \cup [7; +\infty)\).

7)
Решить неравенство:
\(
0.9^{\frac{6 — x}{x^2 — 2x — 3}} \leq 1;
\)
Преобразуем неравенство:
\(
\frac{6 — x}{x^2 — 2x — 3} \geq 0;
\)
Находим корни знаменателя:
\( x^2 — 2x — 3 = (x — 3)(x + 1) = 0; \)
Корни: \( x = -1, x = 3 \). Определяем знаки на интервалах:
1. \( x < -1 \): оба множителя положительны, дробь положительна.
2. \( -1 < x < 3 \): первый множитель отрицателен, второй положителен, дробь отрицательна.
3. \( x > 3 \): оба множителя отрицательны, дробь положительна.

Таким образом, решение:
\( x < -1, \quad 3 < x \leq 6; \)
Ответ: \((-\infty; -1) \cup (3; 6]\).

8)
Решить неравенство:
\(
7 \cdot 343^{\frac{2x^2 + 1}{x}} — 49^{3x} < 0;
\)
Запишем \(343\) как \(7^3\) и \(49\) как \(7^2\):
\(
7 \cdot (7^3)^{\frac{2x^2 + 1}{x}} < (7^2)^{3x};
\)
Упрощаем:
\(
7^{1 + \frac{6x^2 + 3}{x}} < 7^{6x};
\)
Сравниваем показатели:
\(
1 + 6x + \frac{3}{x} < 6x;
\)
Переносим все к одной стороне:
\(
1 + \frac{3}{x} < 0;
\)
Умножаем на \(x\) (учитывая знак):
— если \(x > 0\), то неравенство не выполняется,
— если \(x < 0\), то получаем:
\(
-3 < x < 0;
\)
Ответ: \((-3; 0)\).