ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.356 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1)
\(
4^x — 3 \cdot 4^{(x-2)} > 13;
\)

2)
\(
5^{(x+1)} + 5^{(x-2)} < 630;
\)

3)
\(
0.5^{(x+3)} — 0.5^{(x+2)} + 0.5^{(x+1)} < 0.375;
\)

4)
\(
3^{(x+1)} — 2 \cdot 3^{(x-1)} — 4 \cdot 3^{(x-2)} > 17;
\)

5)
\(
4^{(x-2)} — 3 \cdot 2^{(2x-1)} + 5 \cdot 64^{\frac{x}{3}} < 228;
\)

6)
\(
6 \cdot 0.5^{(x+2)} + 0.5^{(x-3)} > 19.
\)

1)
\(
4^x — 3 \cdot 4^{(x-2)} > 13;
\)
\(
4^x \cdot \left(1 — 3 \cdot \frac{1}{16}\right) > 13;
\)
\(
4^x \cdot \frac{13}{16} > 13;
\)
\(
4^x > 16;
\)
\(
x > 2;
\)
Ответ: \((2; +\infty)\).

2)
\(
5^{(x+1)} + 5^{(x-2)} < 630;
\)
\(
5^x \cdot \left(5 + \frac{1}{25}\right) < 630;
\)
\(
5^x \cdot \frac{126}{25} < 630;
\)
\(
5^x < 125;
\)
\(
x < 3;
\)
Ответ: \((-\infty; 3)\).

3)
\(
0.5^{(x+3)} — 0.5^{(x+2)} + 0.5^{(x+1)} < 0.375;
\)
\(
0.5^x \cdot (0.125 — 0.25 + 0.5) < 0.375;
\)
\(
0.5^x \cdot 0.375 < 0.375;
\)
\(
0.5^x < 1;
\)
\(
x > 0;
\)
Ответ: \((0; +\infty)\).

4)
\(
3^{(x+1)} — 2 \cdot 3^{(x-1)} — 4 \cdot 3^{(x-2)} > 17;
\)
\(
3^x \cdot \left(3 — 2 \cdot \frac{1}{3} — 4 \cdot \frac{1}{9}\right) > 17;
\)
\(
3^x \cdot \frac{17}{9} > 17;
\)
\(
3^x > 9;
\)
\(
x > 2;
\)
Ответ: \((2; +\infty)\).

5)
\(
4^{(x-2)} — 3 \cdot 2^{(2x-1)} + 5 \cdot 64^{\frac{x}{3}} \leq 228;
\)
\(
2^{(2x-4)} — 3 \cdot 2^{(2x-1)} + 5 \cdot 2^{(2x)} \leq 228;
\)
\(
2^{(2x)} \cdot \left(\frac{1}{16} — 3 \cdot \frac{1}{2} + 5\right) \leq 228;
\)
\(
2^{(2x)} \cdot \frac{57}{16} \leq 228;
\)
\(
2^{(2x)} \leq 64;
\)
\(
2x \leq 6;
\)
\(
x \leq 3;
\)
Ответ: \((-\infty; 3]\).

6)
\(
6 \cdot 0.5^{(x+2)} + 0.5^{(x-3)} \geq 19;
\)
\(
0.5^x \cdot (6 \cdot 0.25 + 8) \geq 19;
\)
\(
0.5^x \cdot 9.5 \geq 19;
\)
\(
0.5^x \geq 2;
\)
\(
x \leq -1;
\)
Ответ: \((-\infty; -1]\).

1)
Решить неравенство:
\(
4^x — 3 \cdot 4^{(x-2)} > 13;
\)
Для упрощения запишем \( 4^{(x-2)} \) как \( \frac{4^x}{16} \):
\(
4^x — 3 \cdot \frac{4^x}{16} > 13;
\)
Объединим слагаемые:
\(
4^x \left(1 — \frac{3}{16}\right) > 13;
\)
Упрощаем коэффициент:
\(
1 — \frac{3}{16} = \frac{16 — 3}{16} = \frac{13}{16};
\)
Теперь неравенство выглядит так:
\(
4^x \cdot \frac{13}{16} > 13;
\)
Умножим обе стороны на \( \frac{16}{13} \) (поскольку это положительное число, знак неравенства не меняется):
\(
4^x > 16;
\)
Запишем \( 16 \) как \( 4^2 \):
\(
4^x > 4^2;
\)
Сравниваем показатели:
\(
x > 2;
\)
Ответ: \((2; +\infty)\).

2)
Решить неравенство:
\(
5^{(x+1)} + 5^{(x-2)} < 630;
\)
Запишем \( 5^{(x+1)} \) как \( 5^x \cdot 5 \) и \( 5^{(x-2)} \) как \( \frac{5^x}{25} \):
\(
5^x \cdot 5 + \frac{5^x}{25} < 630;
\)
Вынесем \( 5^x \) за скобки:
\(
5^x \left(5 + \frac{1}{25}\right) < 630;
\)
Упрощаем выражение в скобках:
\(
5 + \frac{1}{25} = \frac{125 + 1}{25} = \frac{126}{25};
\)
Теперь неравенство выглядит так:
\(
5^x \cdot \frac{126}{25} < 630;
\)
Умножим обе стороны на \( \frac{25}{126} \):
\(
5^x < 125;
\)
Запишем \( 125 \) как \( 5^3 \):
\(
5^x < 5^3;
\)
Сравниваем показатели:
\(
x < 3;
\)
Ответ: \((-\infty; 3)\).

3)
Решить неравенство:
\(
0.5^{(x+3)} — 0.5^{(x+2)} + 0.5^{(x+1)} < 0.375;
\)
Вынесем \( 0.5^x \) за скобки:
\(
0.5^x (0.5^3 — 0.5^2 + 0.5^1) < 0.375;
\)
Вычислим значения в скобках:
\(
0.5^3 = 0.125,
0.5^2 = 0.25,
0.5^1 = 0.5;
\)
Таким образом, получаем:
\(
0.5^x (0.125 — 0.25 + 0.5) < 0.375;
\)
Упрощаем выражение в скобках:
\(
0.125 — 0.25 + 0.5 = 0.375;
\)
Теперь неравенство выглядит так:
\(
0.5^x \cdot 0.375 < 0.375;
\)
Разделим обе стороны на \( 0.375 \) (положительное число, знак неравенства не меняется):
\(
0.5^x < 1;
\)
Запишем \( 1 \) как \( 0.5^0 \):
\(
0.5^x < 0.5^0;
\)
Сравниваем показатели:
\(
x > 0;
\)
Ответ: \((0; +\infty)\).

4)
Решить неравенство:
\(
3^{(x+1)} — 2 \cdot 3^{(x-1)} — 4 \cdot 3^{(x-2)} > 17;
\)
Запишем \( 3^{(x+1)} \) как \( 3^x \cdot 3 \), \( 3^{(x-1)} \) как \( \frac{3^x}{3} \) и \( 3^{(x-2)} \) как \( \frac{3^x}{9} \):
\(
3^x \cdot 3 — 2 \cdot \frac{3^x}{3} — 4 \cdot \frac{3^x}{9} > 17;
\)
Упрощаем:
\(
3^x \cdot 3 — \frac{2}{3} \cdot 3^x — \frac{4}{9} \cdot 3^x > 17;
\)
Вынесем \( 3^x \) за скобки:
\(
3^x \left(3 — \frac{2}{3} — \frac{4}{9}\right) > 17;
\)
Сложим дроби:
\(
3 — \frac{2}{3} = \frac{9}{3} — \frac{2}{3} = \frac{7}{3};
\)
Теперь приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{7}{3} — \frac{4}{9} = \frac{21}{9} — \frac{4}{9} = \frac{17}{9};
\)
Таким образом, неравенство становится:
\(
3^x \cdot \frac{17}{9} > 17;
\)
Умножим обе стороны на \( \frac{9}{17} \):
\(
3^x > 9;
\)
Запишем \( 9 \) как \( 3^2 \):
\(
3^x > 3^2;
\)
Сравниваем показатели:
\(
x > 2;
\)
Ответ: \((2; +\infty)\).

5)
Решить неравенство:
\(
4^{(x-2)} — 3 \cdot 2^{(2x-1)} + 5 \cdot 64^{\frac{x}{3}} \leq 228;
\)
Запишем \( 4^{(x-2)} \) как \( 2^{(2x-4)} \) и \( 64^{\frac{x}{3}} \) как \( 2^{(6\cdot\frac{x}{3})} = 2^{(2x)} \):
\(
2^{(2x-4)} — 3 \cdot 2^{(2x-1)} + 5 \cdot 2^{(2x)} \leq 228;
\)
Вынесем \( 2^{(2x)} \) за скобки:
\(
2^{(2x)} \left(\frac{1}{16} — 3 \cdot \frac{1}{2} + 5\right) \leq 228;
\)
Упрощаем выражение в скобках:
\(
\frac{1}{16} — \frac{24}{16} + \frac{80}{16} = \frac{57}{16};
\)
Теперь неравенство выглядит так:
\(
2^{(2x)} \cdot \frac{57}{16} \leq 228;
\)
Умножим обе стороны на \( 16/57 \):
\(
2^{(2x)} \leq 64;
\)
Запишем \( 64 \) как \( 2^6 \):
\(
2^{(2x)} \leq 2^6;
\)
Сравниваем показатели:
\(
2x \leq 6;
\)
Делим обе стороны на \( 2 \):
\(
x \leq 3;
\)
Ответ: \((-\infty; 3]\).

6)
Решить неравенство:
\(
6 \cdot 0.5^{(x+2)} + 0.5^{(x-3)} \geq 19;
\)
Запишем \( 0.5^{(x+2)} = \frac{0.5^x}{4} \) и \( 0.5^{(x-3)} = \frac{0.5^x}{8} \):
\(
6 \cdot \frac{0.5^x}{4} + \frac{0.5^x}{8} \geq 19;
\)
Упрощаем:
\(
\frac{6}{4}0.5^x + \frac{0.5^x}{8} = (1.5 + 0.125)0.5^x = (1.625)0.5^x;
\)
Теперь неравенство выглядит так:
\(
1.6250.5^x \geq 19;
\)
Делим обе стороны на \( 1.625 \):
\(
0.5^x \geq \frac{19}{1.625};
\)
Вычисляем правую часть:
\(
0.5^x \geq 11.69230769;
\)
Запишем это как:
\(
0.5^x < 1;
\)
Так как основание меньше единицы, знак неравенства меняется:
\(
x < -1;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -1].
\)