ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.357 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

\(
1) \quad 25^x — 2 \cdot 5^x — 15 > 0
\)

\(
2) \quad 4^{(x+1)} — 9 \cdot 2^x + 2 < 0
\)

\(
3) \quad 3^{(x+2)} — 28 \cdot 3^{(0.5x)} + 3 > 0
\)

\(
4) \quad \left(\frac{1}{9}\right)^x — 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x — 27 < 0
\)

\(
5) \quad \left(\frac{1}{4}\right)^x — 2^{(1-x)} — 8 > 0
\)

\(
6) \quad 7^x + 7^{(2-x)} — 50 > 0
\)

1) \(25^x — 2 \cdot 5^x — 15 > 0\);
\(D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64\), тогда:
\(5^x = \frac{2 — 8}{2} = -3\) и \(5^x = \frac{2 + 8}{2} = 5\);
\((5^x + 3)(5^x — 5) > 0\);
\(5^x < -3\), \(5^x > 5\);
\(x > 1\);
Ответ: \((1; +\infty)\).

2) \(4^{(x+1)} — 9 \cdot 2^x + 2 \leq 0\);
\(4 \cdot 4^x — 9 \cdot 2^x + 2 \leq 0\);
\(D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49\), тогда:
\(2^x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}\) и \(2^x_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = 2\);
\((2^x — \frac{1}{4})(2^x — 2) \leq 0\);
\(\frac{1}{4} \leq 2^x \leq 2\);
\(-2 \leq x \leq 1\);
Ответ: \([-2; 1]\).

3)
\(
3^{(x+2)} — 28 \cdot 3^{(0.5x)} + 3 \geq 0;
\)
\(
9 \cdot 3^x — 28 \cdot 3^{(0.5x)} + 3 \geq 0;
\)
\(
D = 28^2 — 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 — 108 = 676,
\)

тогда:

\(
3^{(0.5x)}_1 = \frac{28 — 26}{2 \cdot 9} = \frac{1}{9}, \quad 3^{(0.5x)}_2 = \frac{28 + 26}{2 \cdot 9} = 3;
\)

\(
(3^{(0.5x)} — \frac{1}{9})(3^{(0.5x)} — 3) \geq 0;
\)

\(
3^{(0.5x)} \leq \frac{1}{9}, \quad 3^{(0.5x)} \geq 3;
\)

\(
0.5x \leq -2, \quad 0.5x \geq 1;
\)

\(
x \leq -4, \quad x \geq 2;
\)

Ответ: \((-\infty; -4] \cup [2; +\infty)\).

4)
\(
\left(\frac{1}{9}\right)^x — 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x — 27 \leq 0;
\)

\(
3^{-2x} — 6 \cdot 3^{-x} — 27 \leq 0;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144,
\)

тогда:

\(
3^{-x}_1 = \frac{6 — 12}{2} = -3, \quad 3^{-x}_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9;
\)

\(
(3^{-x} + 3)(3^{-x} — 9) \leq 0;
\)

\(
-3 \leq 3^{-x} \leq 9;
\)

\(
-x \leq 2;
\)

\(
x \geq -2;
\)

Ответ: \([-2; +\infty)\).

5)
\(
\left(\frac{1}{4}\right)^x — 2^{(1-x)} — 8 \geq 0;
\)

\(
2^{-2x} — 2 \cdot 2^{-x} — 8 \geq 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\)

тогда:

\(
2^{-x}_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad 2^{-x}_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;
\)

\(
(2^{-x} + 2)(2^{-x} — 4) \geq 0;
\)

\(
2^{-x} \leq -2, \quad 2^{-x} \geq 4;
\)

\(
-x \geq 2;
\)

\(
x \leq -2;
\)

Ответ: \((-\infty; -2]\).

6)
\(
7^x + 7^{(2-x)} — 50 \geq 0;
\)

\(
7^{(2x)} + 7^{(2-x)} — 50 \cdot 7^x \geq 0;
\)

\(
7^{(2x)} — 50 \cdot 7^x + 49 \geq 0;
\)

\(
D = 50^2 — 4 \cdot 49 = 2500 — 196 = 2304,
\)

тогда:

\(
7^x_1 = \frac{50 — 48}{2} = 1, \quad 7^x_2 = \frac{50 + 48}{2} = 49;
\)

\(
(7^x — 1)(7^x — 49) \geq 0;
\)

\(
7^x \leq 1, \quad 7^x \geq 49;
\)

\(
x \leq 0, \quad x \geq 2;
\)

Ответ: \((-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\).

1) Рассмотрим неравенство \(25^x — 2 \cdot 5^x — 15 > 0\).

Для удобства сделаем замену: пусть \(y = 5^x\). Тогда неравенство можно переписать как:
\(
y^2 — 2y — 15 > 0.
\)
Решим квадратное уравнение \(y^2 — 2y — 15 = 0\) с помощью дискриминанта:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.
\)
Корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{2 — 8}{2} = -3,
\)
\(
y_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5.
\)
Теперь можем записать неравенство в виде:
\(
(y + 3)(y — 5) > 0.
\)
Анализируем знаки произведения. Оно будет положительным, если:
1. \(y < -3\) (но \(y = 5^x\) всегда положительно, поэтому это условие не выполняется),
2. \(y > 5\).

Таким образом, мы имеем:
\(
5^x > 5.
\)
Это приводит к:
\(
x > 1.
\)
Ответ: \((1; +\infty)\).

2) Теперь рассмотрим неравенство \(4^{(x+1)} — 9 \cdot 2^x + 2 \leq 0\).

Преобразуем его, используя замену: \(4^{(x+1)} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2\). Таким образом, можем записать:
\(
4 \cdot (2^x)^2 — 9 \cdot 2^x + 2 \leq 0.
\)

Обозначим \(z = 2^x\). Тогда неравенство становится:
\(
4z^2 — 9z + 2 \leq 0.
\)
Решим квадратное уравнение \(4z^2 — 9z + 2 = 0\):
\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49.
\)
Корни уравнения:
\(
z_1 = \frac{9 — \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 — 7}{8} = \frac{1}{4},
\)
\(
z_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = 2.
\)

Теперь можем записать неравенство в виде:
\(
(z — \frac{1}{4})(z — 2) \leq 0.
\)
Анализируем знаки произведения. Оно будет не положительным, если:
1. \(\frac{1}{4} \leq z \leq 2\).

Возвращаемся к переменной \(z = 2^x\):
\(
\frac{1}{4} \leq 2^x \leq 2.
\)

Это соответствует:
\(
-2 \leq x \leq 1.
\)
Ответ: \([-2; 1]\).

3) Рассмотрим неравенство \(3^{(x+2)} — 28 \cdot 3^{(0.5x)} + 3 \geq 0\).

Преобразуем его:
\(
9 \cdot 3^x — 28 \cdot 3^{(0.5x)} + 3 \geq 0.
\)

Сделаем замену: пусть \(w = 3^{(0.5x)}\), тогда \(3^x = w^2\). Неравенство можно записать как:
\(
9w^2 — 28w + 3 \geq 0.
\)

Решим квадратное уравнение \(9w^2 — 28w + 3 = 0\):
\(
D = (-28)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 — 108 = 676.
\)
Корни уравнения:
\(
w_1 = \frac{28 — \sqrt{676}}{18} = \frac{28 — 26}{18} = \frac{1}{9},
\)
\(
w_2 = \frac{28 + \sqrt{676}}{18} = \frac{28 + 26}{18} = 3.
\)

Теперь можем записать неравенство в виде:
\(
(w — \frac{1}{9})(w — 3) \geq 0.
\)

Анализируем знаки произведения. Оно будет не отрицательным, если:
1. \(w \leq \frac{1}{9}\),
2. \(w \geq 3\).

Возвращаемся к переменной \(w = 3^{(0.5x)}\):
1. \(3^{(0.5x)} \leq \frac{1}{9}\) соответствует \(0.5x \leq -2\) или \(x \leq -4\),
2. \(3^{(0.5x)} \geq 3\) соответствует \(0.5x \geq 1\) или \(x \geq 2\).

Таким образом, итоговые решения:
Ответ: \((-\infty; -4] \cup [2; +\infty)\).

4) Рассмотрим неравенство

\(
\left(\frac{1}{9}\right)^x — 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x — 27 \leq 0.
\)

Для удобства сделаем замену: пусть \(y = 3^{-x}\). Тогда неравенство можно переписать как:

\(
y^2 — 6y — 27 \leq 0.
\)

Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 — 6y — 27 = 0\) с помощью дискриминанта:

\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144.
\)

Находим корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{6 — \sqrt{144}}{2} = \frac{6 — 12}{2} = -3,
\)
\(
y_2 = \frac{6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9.
\)

Теперь можем записать неравенство в виде:

\(
(y + 3)(y — 9) \leq 0.
\)

Анализируем знаки произведения. Оно будет отрицательным или равным нулю, если:

1. \(y \in [-3, 9]\).

Так как \(y = 3^{-x}\) всегда положительно, то рассматриваем только условие:

\(
3^{-x} \leq 9.
\)

Это приводит к:

\(
-x \leq 2,
\)

откуда

\(
x \geq -2.
\)

Таким образом, получаем ответ:

\(
[-2; +\infty).
\)

5) Теперь рассмотрим неравенство

\(
\left(\frac{1}{4}\right)^x — 2^{(1-x)} — 8 \geq 0.
\)

Сделаем замену: пусть \(y = 2^{-x}\). Тогда неравенство можно переписать как:

\(
y^2 — 2y — 8 \geq 0.
\)

Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 — 2y — 8 = 0\) с помощью дискриминанта:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.
\)

Находим корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2,
\)
\(
y_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\)

Теперь можем записать неравенство в виде:

\(
(y + 2)(y — 4) \geq 0.
\)

Анализируем знаки произведения. Оно будет положительным или равным нулю, если:

1. \(y \leq -2\) или \(y \geq 4\).

Так как \(y = 2^{-x}\) всегда положительно, то рассматриваем только условие:

\(
2^{-x} \geq 4.
\)

Это приводит к:

\(
-x \geq 2,
\)

откуда

\(
x \leq -2.
\)

Таким образом, получаем ответ:

\(
(-\infty; -2].
\)

6) Рассмотрим неравенство

\(
7^x + 7^{(2-x)} — 50 \geq 0.
\)

Сначала преобразуем его:

\(
7^x + \frac{49}{7^x} — 50 \geq 0.
\)

Обозначим \(y = 7^x\). Тогда неравенство можно переписать как:

\(
y + \frac{49}{y} — 50 \geq 0.
\)

Умножим обе стороны на \(y\) (при \(y > 0\)):

\(
y^2 — 50y + 49 \geq 0.
\)

Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 — 50y + 49 = 0\) с помощью дискриминанта:

\(
D = (-50)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 — 196 = 2304.
\)

Находим корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{50 — \sqrt{2304}}{2} = \frac{50 — 48}{2} = 1,
\)
\(
y_2 = \frac{50 + \sqrt{2304}}{2} = \frac{50 + 48}{2} = 49.
\)

Теперь можем записать неравенство в виде:

\(
(y — 1)(y — 49) \geq 0.
\)

Анализируем знаки произведения. Оно будет положительным или равным нулю, если:

1. \(y \leq 1\) или \(y \geq 49\).

Это приводит к двум условиям:

1. \(7^x \leq 1 \Rightarrow x \leq 0,\)
2. \(7^x \geq 49 \Rightarrow x \geq 2.\)

Таким образом, получаем ответ:

\(
(-\infty; 0] \cup [2; +\infty).
\)