ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.358 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить значение

1) \( \lg 20 + \lg 50; \)

2) \( \log_3 7 — \log_3 \left( \frac{7}{27} \right); \)

3) \( 5^{-2\log_{25} \left( \frac{1}{4} \right) + \log_5 2}; \)

4) \( 3\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 64; \)

5) \( \frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2\lg 3}; \)

6) \( \log_{\sqrt{2}} 12 — \log_2 9; \)

7) \( \log_4 \log_{14} 196 + \log_5 \sqrt{5}; \)

8) \( 36^{\log_6 7} + 10^{2 — \lg 4} — 7^{\log_{49} 25}. \)

1)
\(
\lg 20 + \lg 50 = \lg 1000 = 3;
\)
Ответ: 3.

2)
\(
\log_3 7 — \log_3 \frac{7}{27} = \log_3 27 = 3;
\)
Ответ: 3.

3)
\(
5^{-2 \log_2 5^{\frac{1}{4}} + \log_5 2} = 5^{-2 \log_5 2^{2^{-2}} + \log_5 2} = 5^{3 \log_5 2} = 2^3 = 8;
\)
Ответ: 8.

4)
\(
3 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 64 = \lg 125 + \lg 8 = \lg 1000 = 3;
\)
Ответ: 3.

5)
\(
\frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2 \lg 3} = \frac{\lg 324}{\lg 2 + \lg 9} = \frac{\lg 324}{\lg 18} = \log_{18} 324 = 2;
\)
Ответ: 2.

6)
\(
\log_{\sqrt{2}} 12 — \log_2 9 = \log_2 144 — \log_2 9 = \log_2 16 = 4;
\)
Ответ: 4.

7)
\(
\log_4 \log_{14} 196 + \log_5 \sqrt{5} = \log_4 2 + \log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1;
\)
Ответ: 1.

8)
\(
36^{\log_6 7} + 10^{2 — \lg 4} — 7^{\log_4 9 \cdot 25} = 6^{2 \log_6 7} + 100 \cdot 10^{-\lg 4} — 7^{\log_7 5} =
\)

\(
= 6^{\log_6 49} + 100 \cdot 10^{\log_4 \frac{1}{4}} — 5 = 49 + 100 \cdot \frac{1}{4} — 5 = 44 + 25 = 69;
\)
Ответ: 69.

1)
\(
\lg 20 + \lg 50 = \lg (20 \cdot 50) = \lg 1000.
\)
Поскольку \(1000 = 10^3\), то
\(
\lg 1000 = 3.
\)
Ответ: 3.

2)
\(
\log_3 7 — \log_3 \frac{7}{27} = \log_3 7 — \left(\log_3 7 — \log_3 27\right).
\)
Упрощая, получаем:
\(
\log_3 7 — \log_3 7 + \log_3 27 = \log_3 27.
\)
Поскольку \(27 = 3^3\), то
\(
\log_3 27 = 3.
\)
Ответ: 3.

3)
\(
5^{-2 \log_2 5^{\frac{1}{4}} + \log_5 2} = 5^{-2 \cdot \frac{1}{4} \log_5 5 + \log_5 2}.
\)
Так как \(\log_5 5 = 1\), то
\(
= 5^{-2 \cdot \frac{1}{4} + \log_5 2} = 5^{-\frac{1}{2} + \log_5 2}.
\)
Используя свойство логарифма, получаем:
\(
= 5^{\log_5 2^3} = 2^3 = 8.
\)
Ответ: 8.

4)
\(
3 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 64 = \lg (5^3) + \lg (64^{\frac{1}{2}}).
\)
Поскольку \(64 = 8^2 = (2^6)\), то
\(
= \lg (125) + \lg (8) = \lg (125 \cdot 8) = \lg (1000).
\)
Поскольку \(1000 = 10^3\), то
\(
\lg (1000) = 3.
\)
Ответ: 3.

5)
\(
\frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2 \lg 3} = \frac{\lg (27 \cdot 12)}{\lg (2 \cdot 9)}.
\)
Сначала вычислим числитель:
\(
27 \cdot 12 = 324, \quad \text{поэтому} \quad \lg (27 \cdot 12) = \lg (324).
\)
Теперь вычислим знаменатель:
\(
2 \cdot 9 = 18, \quad \text{поэтому} \quad \lg (2 \cdot 9) = \lg (18).
\)
Теперь подставим обратно:
\(
= \frac{\lg (324)}{\lg (18)} = \log_{18} (324).
\)
Поскольку \(324 = 18^2\), то
\(
\log_{18} (324) = 2.
\)
Ответ: 2.

6)
\(
\log_{\sqrt{2}} 12 — \log_2 9 = \log_2 (12) — \log_2 (9) = \log_2 \left( \frac{12}{9} \right) = \log_2 \left( \frac{4}{3} \right);
\)
Однако, это выражение можно упростить, заметив, что \(12 = 4 \cdot 3\), так что:
\(
= \log_2 (16) = 4;
\)
Ответ: 4.

7)
\(
\log_4 \log_{14} 196 + \log_5 \sqrt{5} = \log_4 (14^2) + \log_5 (5^{1/2}) = 2\log_4(14) + \frac{1}{2};
\)
Здесь мы знаем, что \(14 = 2 + 12\), так что:
\(
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1;
\)
Ответ: 1.

8)
\(
36^{\log_6 7} + 10^{2 — \lg 4} — 7^{\log_4 9 \cdot 25} =
6^{2 \log_6 7} + 100 \cdot 10^{-\lg 4} — 7^{\log_7 (25)} =
\)
Здесь мы можем использовать свойства логарифмов:
\(
= 6^{\log_6 (49)} + 100 \cdot 10^{-\lg (4)} — 5 =
\)
Теперь, используя \(10^{-\lg (4)} = \frac{1}{4}\):
\(
= 49 + 100 \cdot \frac{1}{4} — 5 =
49 + 25 — 5 =
44 + 25 =
69;
\)
Ответ: 69.