ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.359 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \ln \left( \frac{x+1}{4-5x} \right); \)

2) \( y = \log_6 \left( 4^x — 3 \cdot 2^x + 2 \right); \)

3) \( y = \lg \lg x; \)

4) \( y = \frac{x-2}{\log_2 (x^2 — 8)}; \)

5) \( y = \lg (5x — x^2) + \frac{1}{\lg (2 — x)}; \)

6) \( y = \log_{(x-2)} (x^2 + x — 3). \)

1)
\(
y = \ln \frac{x+1}{4 — 5x};
\)
Область определения:
\(
\frac{x+1}{4 — 5x} > 0;
\)
\(
x+1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1;
\)
\(
4 — 5x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{4}{5};
\)
\(
-1 < x < \frac{4}{5};
\)
Ответ: \(\left(-1; \frac{4}{5}\right)\).

2)
\(
y = \log_6 (4^x — 3 \cdot 2^x + 2);
\)
Область определения:
\(
4^x — 3 \cdot 2^x + 2 > 0;
\)

Пусть \(t = 2^x\), тогда:
\(
t^2 — 3t + 2 > 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;
\)
\(
t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)
\(
(t — 1)(t — 2) > 0;
\)
\(
t < 1 \quad \text{или} \quad t > 2;
\)
\(
2^x < 1 \Rightarrow x < 0,
\)
\(
2^x > 2 \Rightarrow x > 1;
\)

Ответ: \((-\infty; 0) \cup (1; +\infty)\).

3)
\(
y = \lg \lg x;
\)
Область определения:
\(
\lg x > 0 \Rightarrow x > 1;
\)

Ответ: \((1; +\infty)\).

4)
\(
y = \frac{x — 2}{\log_2 (x^2 — 8)};
\)
Область определения:
\(
\log_2 (x^2 — 8) \neq 0;
\)
\(
x^2 — 8 > 0, \quad x^2 — 8 \neq 1;
\)
\(
(x + 2\sqrt{2})(x — 2\sqrt{2}) > 0, \quad x^2 \neq 9;
\)
\(
x < -2\sqrt{2}, \quad x > 2\sqrt{2}, \quad x \neq \pm 3;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (-3; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 3) \cup (3; +\infty).
\)

5)
\(
y = \lg (5x — x^2) + \frac{1}{\lg (2 — x)};
\)
Область определения:
\(
5x — x^2 > 0, \quad \lg (2 — x) \neq 0;
\)
\(
x(5 — x) > 0, \quad 2 — x > 0, \quad 2 — x \neq 1;
\)
\(
0 < x < 5, \quad x < 2, \quad x \neq 1;
\)
\(
0 < x < 1, \quad 1 < x < 2;
\)
Ответ:
\(
(0; 1) \cup (1; 2).
\)

6)
\(
y = \log_{(x — 2)} (x^2 + x — 6);
\)
Область определения:
\(
x^2 + x — 6 > 0, \quad x — 2 > 0, \quad x — 2 \neq 1;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)
\(
(x + 3)(x — 2) > 0, \quad x > 2, \quad x \neq 3;
\)
\(
2 < x < 3, \quad x > 3;
\)
Ответ:
\(
(2; 3) \cup (3; +\infty).
\)

(Опечатка в условии).

1)
\(
y = \ln \frac{x+1}{4 — 5x};
\)
Область определения:
\(
\frac{x+1}{4 — 5x} > 0;
\)

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:
\(
x+1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1;
\)
\(
4 — 5x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{4}{5};
\)
Так как дробь положительна, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак, то:
\(
-1 < x < \frac{4}{5};
\)
Ответ: \((-1; \frac{4}{5})\).

2)
\(
y = \log_6 (4^x — 3 \cdot 2^x + 2);
\)
Область определения:
\(
4^x — 3 \cdot 2^x + 2 > 0;
\)

Пусть \(t = 2^x\), тогда:
\(
t^2 — 3t + 2 > 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

Неравенство:
\(
(t — 1)(t — 2) > 0;
\)

Решения:
\(
t < 1 \quad \text{или} \quad t > 2;
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
2^x < 1 \Rightarrow x < 0,
\)
\(
2^x > 2 \Rightarrow x > 1;
\)

Ответ: \((-\infty; 0) \cup (1; +\infty)\).

3)
\(
y = \lg \lg x;
\)
Область определения:
\(
\lg x > 0 \Rightarrow x > 1;
\)

Ответ: \((1; +\infty)\).

4)
\(
y = \frac{x — 2}{\log_2 (x^2 — 8)};
\)
Область определения:
\(
\log_2 (x^2 — 8) \neq 0;
\)
\(
x^2 — 8 > 0, \quad x^2 — 8 \neq 1;
\)
Решим неравенство \(x^2 — 8 > 0\):
\(
(x + 2\sqrt{2})(x — 2\sqrt{2}) > 0;
\)
Решение:
\(
x < -2\sqrt{2}, \quad x > 2\sqrt{2};
\)
Теперь решим \(x^2 — 8 \neq 1\):
\(
x^2 \neq 9 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm 3;
\)
Таким образом, область определения:
\(
x < -2\sqrt{2}, \quad x > 2\sqrt{2}, \quad x \neq \pm 3;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -3) \cup (-3; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 3) \cup (3; +\infty).
\)

5)
\(
y = \lg (5x — x^2) + \frac{1}{\lg (2 — x)};
\)
Область определения:
\(
5x — x^2 > 0, \quad \lg (2 — x) \neq 0;
\)
Решим неравенство \(5x — x^2 > 0\):
\(
x(5 — x) > 0;
\)
Решение:
\(
0 < x < 5;
\)
Решим \(2 — x > 0\):
\(
x < 2;
\)
Также необходимо, чтобы \(2 — x \neq 1\):
\(
x \neq 1;
\)
Таким образом, объединяя условия:
\(
0 < x < 5, \quad x < 2, \quad x \neq 1;
\)
Отсюда получаем:
\(
0 < x < 1, \quad 1 < x < 2;
\)
Ответ:
\(
(0; 1) \cup (1; 2).
\)

6)
\(
y = \log_{(x — 2)} (x^2 + x — 6);
\)
Область определения:
\(
x^2 + x — 6 > 0, \quad x — 2 > 0, \quad x — 2 \neq 1;
\)
Решим неравенство \(x^2 + x — 6 > 0\):
Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25;
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)
Неравенство:
\(
(x + 3)(x — 2) > 0;
\)
Решения:
\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2;
\)
Также необходимо, чтобы \(x — 2 > 0\):
\(
x > 2;
\)
И \(x — 2 \neq 1\):
\(
x \neq 3;
\)
Таким образом, объединяя условия:
\(
x > 2 \quad \text{и} \quad x \neq 3;
\)
Ответ:
\(
(2; 3) \cup (3; +\infty).
\)