ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.360 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На рисунке 28.15 изображён график убывающей функции \( y = f(x) \), определённой на множестве действительных чисел. Сколько корней имеет уравнение \( f(x) = \log_4 x \)?

На рисунке 28.15 изображен график функции \(y = f(x)\);
Определить количество корней уравнения \(f(x) = \log_4 x\):

— Функция \(y = f(x)\) убывает на множестве \(\mathbb{R}\);
— Функция \(y = \log_4 x\) возрастает на множестве \(\mathbb{R}\);
— Существует единственное решение;

Ответ: 1.

На рисунке 28.15 изображен график функции \(y = f(x)\). Необходимо определить количество корней уравнения \(f(x) = \log_4 x\).

1. Анализ функции \(y = f(x)\): Функция \(y = f(x)\) убывает на множестве \(\mathbb{R}\). Это означает, что для любых \(x_1 < x_2\) выполняется \(f(x_1) > f(x_2)\). Следовательно, график функции будет наклонен вниз, и с увеличением \(x\) значение \(f(x)\) будет снижаться.

2. Анализ функции \(y = \log_4 x\): Функция \(y = \log_4 x\) возрастает на множестве \(\mathbb{R}\) для \(x > 0\). Это означает, что для любых \(x_1 < x_2\) выполняется \(\log_4 x_1 < \log_4 x_2\). График этой функции будет наклонен вверх, и с увеличением \(x\) значение \(\log_4 x\) будет расти.

3. Пересечение графиков: Поскольку график функции \(f(x)\) убывает, а график функции \(\log_4 x\) возрастает, они могут пересекаться не более одного раза. Это связано с тем, что убывающая функция может пересекаться с возрастающей функцией только в одной точке. Если бы они пересекались более одного раза, это противоречило бы свойствам функций: убывающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках.

4. Заключение: Таким образом, существует единственное решение уравнения:

\(
f(x) = \log_4 x.
\)

Ответ: 1.