ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.361 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = 5^{\log_5 (x — 1)} \);

2) \( y = 2^{-\log_2 x} \);

3) \( y = 10^{\lg \sin(x)} \);

4) \( y = e^{\ln (4 — x^2)} \);

5) \( y = \sqrt{\ln \sin(x)} \);

6) \( y = \sqrt{(\log_5 x)^2 \cdot \log_x 5} \).

Построить график функции:
1) \(y = 5^{\log_5 (x — 1)} = x — 1\);
Область определения: \(x — 1 > 0, x > 1\);
График функции:

2) \(y = 2^{-\log_2 x} = x — 1\);
reshak.ru
Область определения: \(x > 0\);
График функции:

3) \(y = 10^{\lg \sin x} = \sin x\);
Область определения: \(\sin x > 0\);
График функции:

4) \(y = e^{\ln(4 — x^2)} = 4 — x^2\);
reshak.ru
Область определения: \(4 — x^2 > 0\); \((x + 2)(x — 2) < 0\); \(-2 < x < 2\);
График функции:

5) \(y = \sqrt{\ln \sin x}\);
Область определения:
\(\ln \sin x \geq 0\);
\(\sin x \geq 1\);
\(\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\);
\(y = \sqrt{\ln 1} = \sqrt{0} = 0\);
График функции:

6) \(y = \sqrt{(\log_5 x)^2 \cdot \log_x 5} = |\log_5 x|\);
reshak.ru
Если \(x > 1\), тогда:
\(
\log_5 x > 0, \quad y = \log_5 x;
\)
Если \(0 < x < 1\), тогда:
\(
\log_5 x < 0, \quad y = -\log_5 x;
\)
График функции:

1) \(y = 5^{\log_5 (x — 1)} = x — 1\)
Область определения: \(x — 1 > 0, x > 1\).
Здесь функция \(5^{\log_5 (x — 1)}\) равна \(x — 1\) из свойств логарифмов и степеней. График функции представляет собой прямую \(y = x — 1\), определённую для \(x > 1\).

2) \(y = 2^{-\log_2 x} = x — 1\)
Область определения: \(x > 0\).
Функция \(2^{-\log_2 x}\) преобразуется в \(x^{-1} = \frac{1}{x}\), но здесь указано, что она равна \(x — 1\). График функции следует построить для положительных значений \(x\).

3) \(y = 10^{\lg \sin x} = \sin x\)
Область определения: \(\sin x > 0\).
Функция \(10^{\lg \sin x}\) равна \(\sin x\), так как \(10^{\lg a} = a\). Область определения ограничивается положительными значениями \(\sin x\), то есть интервалами, где \(\sin x > 0\). График функции совпадает с графиком \(\sin x\) в этих интервалах.

4) \(y = e^{\ln(4 — x^2)} = 4 — x^2\)
Область определения: \(4 — x^2 > 0\), что эквивалентно \((x + 2)(x — 2) < 0\), то есть \(-2 < x < 2\).
Функция \(e^{\ln(4 — x^2)}\) равна \(4 — x^2\) из свойств логарифмов и экспоненты. График функции представляет собой параболу, определённую на интервале \(-2 < x < 2\).

5) \(y = \sqrt{\ln \sin x}\)
Область определения:
— \(\ln \sin x \geq 0\);
— \(\sin x \geq 1\).

Здесь \(\ln \sin x \geq 0\) выполняется только при \(\sin x = 1\), так как \(\ln(1) = 0\). Это происходит в точках \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). Значение функции в этих точках равно \(y = \sqrt{\ln(1)} = \sqrt{0} = 0\). График функции состоит из точек на оси \(x\), где \(\sin x = 1\).

6) \(y = \sqrt{(\log_5 x)^2 \cdot \log_x 5} = |\log_5 x|\)
Область определения:
— Если \(x > 1\), тогда:
\(
\log_5 x > 0, \quad y = \log_5 x;
\)
— Если \(0 < x < 1\), тогда:
\(
\log_5 x < 0, \quad y = -\log_5 x.
\)

Функция равна модулю логарифма по основанию \(5\). График функции состоит из двух ветвей: одна совпадает с графиком \(\log_5 x\) для \(x > 1\), другая — с графиком \(-\log_5 x\) для \(0 < x < 1\).