ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.363 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1\);
2) \(\lg x = 3 — \lg 20\);
3) \(\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5\);
4) \(\log_2 \log_3 \log_4 x = 0\);
5) \(100^{\lg(x + 10)} = 10\ 000\);
6) \(\log_2(9 — 2^x) = 7^{\log_7(3 — x)}\);
7) \(\log_{2x} 64 — \log_{2x} 4 = 2\);
8) \(\log_{x — 1}(2x^2 — 4x + 1) = 2\);
9) \(\frac{\log_2(x^2 — x — 16) — 2}{\log_5(x — 4)} = 0\).

1) \(\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1;\)
\(
x^2 + 4x = 5;
\)
\(
x^2 + 4x — 5 = 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;
\)
Ответ: \(-5; 1\).

2) \(\lg x = 3 — \lg 20;\)
\(
\lg x = \lg 1000 — \lg 20;
\)
\(
\lg x = \lg 50;
\)
\(
x = 50;
\)
Ответ: \(50\).

3) \(\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5;\)
\(
\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = 5.5;
\)
\(
\frac{11}{6} \log_3 x = 5.5;
\)
\(
\log_3 x = 3;
\)
\(
x = 27;
\)
Ответ: \(27\).

4) \(\log_2 \log_3 \log_4 x = 0;\)
\(
\log_3 \log_4 x = 1;
\)
\(
\log_4 x = 3;
\)
\(
x = 64;
\)
Ответ: \(64\).

5)
\(
100^{\lg(x+10)} = 10\,000;
\)
\(
100^{\lg(x+10)} = 100^2;
\)
\(
\lg(x + 10) = 2;
\)
\(
x + 10 = 100;
\)
\(
x = 90;
\)
Ответ: \(90\).

6)
\(
\log_2(9 — 2^x) = 7 \log_7(3 — x);
\)
\(
\log_2(9 — 2^x) = 3 — x;
\)
\(
9 — 2^x = 2^{3 — x};
\)
\(
9 \cdot 2^x — 2^{2x} = 2^3;
\)
\(
2^{2x} — 9 \cdot 2^x + 8 = 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49,
\)
тогда:
\(
2^x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad 2^x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;
\)
\(
x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 3;
\)
Область определения:
\(
3 — x > 0, \quad x < 3;
\)
Ответ: \(0\).

7)
\(
\log_{2x} 64 — \log_{2x} 4 = 2;
\)
\(
\log_{2x} 16 = 2;
\)
\(
16 = 4x^2;
\)
\(
x^2 = 4;
\)
\(
x = \pm 2;
\)
Область определения:
\(
2x > 0, \quad 2x \neq 1;
\)
\(
x > 0, \quad x \neq 0.5;
\)
Ответ: \(2\).

8)
\(
\log_{x-1}(2x^2 — 4x + 1) = 2;
\)
\(
2x^2 — 4x + 1 = x^2 — 2x + 1;
\)
\(
x^2 — 2x = 0;
\)
\(
x(x — 2) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2;
\)
Область определения:
\(
x — 1 > 0, \quad x — 1 \neq 1;
\)
\(
x > 1, \quad x \neq 2;
\)
Ответ: корней нет.

9)
\(
\frac{\log_2(x^2 — x — 16) — 2}{\log_5(x — 4)} = 0;
\)
\(
\log_2(x^2 — x — 16) — 2 = 0;
\)
\(
\log_2(x^2 — x — 16) = 2;
\)
\(
x^2 — x — 16 = 4;
\)
\(
x^2 — x — 20 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;
\)
Область определения:
\(
\log_5(x — 4) \neq 0;
\)
\(
x — 4 > 0, \quad x — 4 \neq 1;
\)
\(
x > 4, \quad x \neq 5;
\)
Ответ: корней нет.

1) \(\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1;\)

Для начала преобразуем уравнение:

\(\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1\) означает, что

\(
x^2 + 4x = 0.2^{-1}.
\)

Поскольку \(0.2^{-1} = 5\), у нас получается:

\(
x^2 + 4x = 5.
\)

Теперь перенесем все в одну сторону:

\(
x^2 + 4x — 5 = 0.
\)

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

\(
D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 — 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\)

Теперь проверим область определения: \(x^2 + 4x > 0\).

Подставим найденные корни в уравнение:

1. Для \(x_1 = -5\):
\(
(-5)^2 + 4(-5) = 25 — 20 = 5 > 0.
\)
Это значение допустимо.

2. Для \(x_2 = 1\):
\(
(1)^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5 > 0.
\)
Это значение также допустимо.

Ответ: \(-5; 1\).

2) \(\lg x = 3 — \lg 20;\)

Сначала преобразуем уравнение:

\(
\lg x = 3 — \lg 20.
\)

Используя свойства логарифмов, получаем:

\(
\lg x = \lg(1000) — \lg(20).
\)

Это можно записать как:

\(
\lg x = \lg\left(\frac{1000}{20}\right).
\)

Теперь вычислим:

\(
\frac{1000}{20} = 50.
\)

Таким образом, мы имеем:

\(
\lg x = \lg(50).
\)

Следовательно, \(x\) равно:

\(
x = 50.
\)

Ответ: \(50\).

3) \(\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5;\)

Сначала преобразуем логарифмы с различными основаниями в логарифмы с основанием \(3\):

\(
\log_9 x = \frac{1}{2} \log_3 x,
\)
\(
\log_{27} x = \frac{1}{3} \log_3 x.
\)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\(
\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = 5.5.
\)

Объединим логарифмы:

\(
\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \log_3 x = 5.5.
\)

Находим общий знаменатель для \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\):

Общий знаменатель равен \(6\):

\(
= \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}.
\)

Теперь подставим это значение в уравнение:

\(
\frac{11}{6} \log_3 x = 5.5.
\)

Умножим обе стороны на \(\frac{6}{11}\):

\(
\log_3 x = 5.5 \cdot \frac{6}{11} = 3.
\)

Теперь найдем \(x\):

\(
x = 3^3 = 27.
\)

Ответ: \(27\).

4) \(\log_2 \log_3 \log_4 x = 0;\)

Для начала преобразуем уравнение:

\(\log_2 \log_3 \log_4 x = 0\) означает, что

\(\log_3 \log_4 x = 1.\)

Теперь преобразуем это уравнение:

\(\log_3 \log_4 x = 1\) означает, что

\(\log_4 x = 3.\)

Теперь преобразуем это уравнение:

\(\log_4 x = 3\) означает, что

\(x = 4^3.\)

Вычисляем:

\(x = 64.\)

Ответ: \(64\).

5)

\(100^{\lg(x+10)} = 10\,000;\)

Для начала преобразуем уравнение:

\(100^{\lg(x+10)} = 10\,000\) можно записать как

\(100^{\lg(x+10)} = 100^2.\)

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели:

\(\lg(x + 10) = 2.\)

Теперь преобразуем это уравнение:

\(x + 10 = 10^2.\)

Вычисляем:

\(x + 10 = 100.\)

Теперь решим для \(x\):

\(x = 100 — 10 = 90.\)

Ответ: \(90\).

6)

\(\log_2(9 — 2^x) = 7 \log_7(3 — x);\)

Сначала преобразуем правую часть:

\(\log_7(3 — x) = \frac{\log_2(3 — x)}{\log_2(7)}.\)

Таким образом, у нас получается:

\(\log_2(9 — 2^x) = 7 \cdot \frac{\log_2(3 — x)}{\log_2(7)}.\)

Упростим это уравнение:

\(\log_2(9 — 2^x) = 3 — x.\)

Теперь преобразуем это уравнение в экспоненциальную форму:

\(9 — 2^x = 2^{3 — x}.\)

Умножим обе стороны на \(2^x\):

\(9 \cdot 2^x — 2^{2x} = 2^3.\)

Теперь упростим это уравнение:

\(2^{2x} — 9 \cdot 2^x + 8 = 0.\)

Пусть \(y = 2^x\). Тогда уравнение становится:

\(y^2 — 9y + 8 = 0.\)

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

\(D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49.\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\(y_1 = \frac{9 — \sqrt{49}}{2} = \frac{9 — 7}{2} = \frac{2}{2} = 1,\)

\(y_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8.\)

Теперь вернемся к \(x\):

1. Для \(y_1 = 1:\)
\(2^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0.\)

2. Для \(y_2 = 8:\)
\(2^x = 8 \Rightarrow x_2 = 3.\)

Теперь проверим область определения:

\(3 — x > 0 \Rightarrow x < 3.\)

Таким образом, допустимо только значение \(x_1 = 0\).

Ответ: \(0\).

7)

\(\log_{2x} 64 — \log_{2x} 4 = 2;\)

Сначала используем свойства логарифмов:

\(\log_{2x} \frac{64}{4} = 2.\)

Преобразуем дробь:

\(\log_{2x} 16 = 2.\)

Теперь преобразуем это уравнение в экспоненциальную форму:

\(16 = (2x)^2.\)

Вычисляем:

\(16 = 4x^2.\)

Теперь решим для \(x^2\):

\(x^2 = \frac{16}{4} = 4.\)

Теперь находим \(x\):

\(x = \pm 2.\)

Теперь проверим область определения:

\(2x > 0\) означает, что \(x > 0.\)

Также \(2x \neq 1\) означает, что \(x \neq 0.5.\)

Таким образом, область определения:

\(x > 0, \quad x \neq 0.5.\)

Из найденных корней \(x = 2\) подходит, а \(x = -2\) не подходит.

Ответ: \(2\).

8)

\(\log_{x-1}(2x^2 — 4x + 1) = 2;\)

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме:

\(2x^2 — 4x + 1 = (x — 1)^2.\)

Раскроем квадрат:

\(2x^2 — 4x + 1 = x^2 — 2x + 1.\)

Переносим все в одну сторону:

\(2x^2 — 4x + 1 — x^2 + 2x — 1 = 0.\)

Упрощаем:

\(x^2 — 2x = 0.\)

Факторизуем:

\(x(x — 2) = 0.\)

Находим корни:

\(x_1 = 0, \quad x_2 = 2.\)

Теперь проверим область определения:

\(x — 1 > 0\) означает, что \(x > 1.\)

Также \(x — 1 \neq 1\) означает, что \(x \neq 2.\)

Таким образом, область определения:

\(x > 1, \quad x \neq 2.\)

Из найденных корней \(x_1 = 0\) не подходит, а \(x_2 = 2\) также не подходит.

Ответ: корней нет.

9)

\(\frac{\log_2(x^2 — x — 16) — 2}{\log_5(x — 4)} = 0;\)

Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю:

\(\log_2(x^2 — x — 16) — 2 = 0;\)

Теперь решаем уравнение:

\(\log_2(x^2 — x — 16) = 2.\)

Преобразуем в экспоненциальную форму:

\(x^2 — x — 16 = 2^2;\)

Это дает нам:

\(x^2 — x — 16 = 4.\)

Переносим все в одну сторону:

\(x^2 — x — 20 = 0.\)

Теперь находим дискриминант:

\(D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81.\)

Теперь находим корни:

\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 — 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5.
\)

Теперь проверим область определения:

\(\log_5(x — 4) \neq 0;\)

Это означает, что \(x — 4 > 0\), то есть \(x > 4\).

Также \(x — 4 \neq 1\) означает, что \(x \neq 5\).

Таким образом, область определения:

\(x > 4, \quad x \neq 5.\)

Из найденных корней \(x_1 = -4\) не подходит, а \(x_2 = 5\) также не подходит.

Ответ: корней нет.