ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.364 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\lg(5x + 2) = \frac{1}{2} \lg 36 + \lg 2;\)
2) \(\log_5(250 — x^3) = 3 \log_5 x;\)
3) \(\log_9(4x — 6) = \log_9(2x — 4);\)
4) \(\frac{1}{2} \lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5);\)
5) \(\lg(2x + 1) = 0.5 \lg(1 — 3x);\)
6) \(\log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2x^2 + x — 1);\)
7) \(2 \log_7(-x) = \log_7(x + 6);\)
8) \(\ln(x^2 — 2x — 8) = 2 \ln(\sqrt{-4x}).\)

1)
\(
\lg(5x + 2) = \frac{1}{2} \lg 36 + \lg 2;
\)
\(
\lg(5x + 2) = \lg 6 + \lg 2;
\)
\(
\lg(5x + 2) = \lg 12;
\)
\(
5x + 2 = 12;
\)
\(
5x = 10;
\)
\(
x = 2;
\)
Ответ: \(2\).

2)
\(
\log_5(250 — x^3) = 3 \log_5 x;
\)
\(
\log_5(250 — x^3) = \log_5 x^3;
\)
\(
250 — x^3 = x^3;
\)
\(
2x^3 = 250;
\)
\(
x^3 = 125;
\)
\(
x = 5;
\)
Ответ: \(5\).

3)
\(
\log_9(4x — 6) = \log_9(2x — 4);
\)
\(
4x — 6 = 2x — 4;
\)
\(
2x = 2;
\)
\(
x = 1;
\)
Область определения:
\(
4x — 6 > 0;
\)
\(
2x — 4 > 0;
\)
\(
x > 2;
\)
Ответ: корней нет.

4)
\(
\frac{1}{2} \lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5);
\)
\(
\lg(3x^2 + 25) = 2 \lg(3x — 5);
\)
\(
\lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5)^2;
\)
\(
3x^2 + 25 = 9x^2 — 30x + 25;
\)
\(
6x^2 — 30x = 0;
\)
\(
6x(x — 5) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5;
\)
Область определения:
\(
3x — 5 > 0;
\)
\(
3x > 5;
\)
\(
x > \frac{5}{3};
\)
Ответ: \(5\).

5)
\(
\lg(2x + 1) = 0.5 \lg(1 — 3x);
\)
\(
2 \lg(2x + 1) = \lg(1 — 3x);
\)
\(
\lg(4x^2 + 4x + 1) = \lg(1 — 3x);
\)
\(
4x^2 + 4x + 1 = 1 — 3x;
\)
\(
4x^2 + 7x = 0;
\)
\(
x(4x + 7) = 0;
\)
\(
x_1 = -\frac{7}{4}, \quad x_2 = 0;
\)
Область определения:
\(
2x + 1 > 0;
\)
\(
2x > -1;
\)
\(
x > -\frac{1}{2};
\)
Ответ: \(0\).

6)
\(
\log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2x^2 + x — 1);
\)
\(
x^2 — x — 2 = 2x^2 + x — 1;
\)
\(
x^2 + 2x + 1 = 0;
\)

\(
(x + 1)^2 = 0;
\)
\(
x = -1;
\)
Область определения:
\(
x^2 — x — 2 > 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
(x + 1)(x — 2) > 0;
\)
\(
x < -1, \quad x > 2;
\)
Ответ: корней нет.

7)
\(
2 \log_7(-x) = \log_7(x + 6);
\)
\(
\log_7 x^2 = \log_7(x + 6);
\)
\(
x^2 = x + 6;
\)
\(
x^2 — x — 6 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)
Область определения:
\(
-x > 0, \quad x < 0;
\)
Ответ: \(-2\).

8)
\(
\ln(x^2 — 2x — 8) = 2 \ln \sqrt{-4x};
\)
\(
\ln(x^2 — 2x — 8) = \ln(-4x);
\)
\(
x^2 — 2x — 8 = -4x;
\)
\(
x^2 + 2x — 8 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)
Область определения:
\(
-4x > 0, \quad x < 0;
\)
Ответ: \(-4\).

1)
\(
\lg(5x + 2) = \frac{1}{2} \lg 36 + \lg 2;
\)
Сначала упростим правую часть:

\(
\frac{1}{2} \lg 36 = \lg(36^{\frac{1}{2}}) = \lg 6.
\)

Теперь у нас есть:

\(
\lg(5x + 2) = \lg 6 + \lg 2.
\)
Используем свойство логарифмов:

\(
\lg(5x + 2) = \lg(6 \cdot 2) = \lg 12.
\)
Теперь, так как логарифмы равны, мы можем приравнять аргументы:

\(
5x + 2 = 12.
\)
Решаем для \(x\):

\(
5x = 12 — 2,
\)
\(
5x = 10,
\)
\(
x = \frac{10}{5} = 2.
\)
Ответ: \(2\).

2)
\(
\log_5(250 — x^3) = 3 \log_5 x;
\)
Преобразуем правую часть:

\(
3 \log_5 x = \log_5(x^3).
\)

Теперь у нас есть:

\(
\log_5(250 — x^3) = \log_5(x^3).
\)
Приравниваем аргументы логарифмов:

\(
250 — x^3 = x^3.
\)
Соберем все в одну сторону:

\(
250 = 2x^3,
\)
или

\(
2x^3 = 250.
\)
Делим обе стороны на 2:

\(
x^3 = \frac{250}{2} = 125.
\)
Теперь извлекаем корень:

\(
x = \sqrt[3]{125} = 5.
\)
Ответ: \(5\).

3)
\(
\log_9(4x — 6) = \log_9(2x — 4);
\)
Приравниваем аргументы логарифмов:

\(
4x — 6 = 2x — 4.
\)
Переносим все в одну сторону:

\(
4x — 2x = -4 + 6,
\)
или

\(
2x = 2.
\)
Делим обе стороны на 2:

\(
x = 1.
\)
Теперь проверим область определения:

Для логарифма \(4x — 6 > 0\):

\(
4x > 6 \Rightarrow x > \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
\)

Для логарифма \(2x — 4 > 0\):

\(
2x > 4 \Rightarrow x > 2.
\)

Таким образом, область определения требует, чтобы \(x > 2.\)

Ответ: корней нет.

4)
\(
\frac{1}{2} \lg(3x^2 + 25) = \lg(3x — 5);
\)
Умножим обе стороны на 2:

\(
\lg(3x^2 + 25) = 2 \lg(3x — 5);
\)
Используем свойство логарифмов:

\(
\lg(3x^2 + 25) = \lg( (3x — 5)^2 );
\)
Приравниваем аргументы логарифмов:

\(
3x^2 + 25 = (3x — 5)^2;
\)
Раскроем квадрат:

\(
3x^2 + 25 = 9x^2 — 30x + 25;
\)
Соберем все в одну сторону:

\(
3x^2 + 25 — 9x^2 + 30x — 25 = 0;
\)
Упрощаем:

\(
-6x^2 + 30x = 0;
\)
Вынесем общий множитель:

\(
6x(x — 5) = 0;
\)
Таким образом, у нас есть два корня:

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5;
\)
Теперь проверим область определения:

\(
3x — 5 > 0;
\)
Решаем неравенство:

\(
3x > 5 — x > \frac{5}{3};
\)
Таким образом, из двух корней только \(x = 5\) подходит.

Ответ: \(5\).

5)
\(
\lg(2x + 1) = 0.5 \lg(1 — 3x);
\)
Умножим обе стороны на 2:

\(
2 \lg(2x + 1) = \lg(1 — 3x);
\)
Используем свойство логарифмов:

\(
\lg((2x + 1)^2) = \lg(1 — 3x);
\)
Приравниваем аргументы логарифмов:

\(
(2x + 1)^2 = 1 — 3x;
\)
Раскроем квадрат:

\(
4x^2 + 4x + 1 = 1 — 3x;
\)
Соберем все в одну сторону:

\(
4x^2 + 4x + 1 — 1 + 3x = 0;
\)
Упрощаем:

\(
4x^2 + 7x = 0;
\)
Вынесем общий множитель:

\(
x(4x + 7) = 0;
\)
Таким образом, у нас есть два корня:

\(
x_1 = -\frac{7}{4}, \quad x_2 = 0;
\)
Теперь проверим область определения:

\(
2x + 1 > 0 — x > -\frac{1}{2};
\)
Из найденных корней только \(x = 0\) удовлетворяет этому условию.

Ответ: \(0\).

6)
\(
\log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2x^2 + x — 1);
\)
Приравниваем аргументы логарифмов:

\(
x^2 — x — 2 = 2x^2 + x — 1;
\)
Соберем все в одну сторону:

\(
x^2 — x — 2 — 2x^2 — x + 1 = 0;
\)
Упрощаем:

\(
-x^2 — 2x — 1 = 0 — x^2 + 2x + 1 = 0;
\)
Это можно записать как:

\(
(x + 1)^2 = 0;
\)
Следовательно,

\(
x = -1;
\)
Теперь проверим область определения:

\(
x^2 — x — 2 > 0;
\)
Находим дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9;
\)

Теперь находим корни:

\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1;
\)

\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Теперь решим неравенство:

\(
(x + 1)(x — 2) > 0;
\)

Решаем неравенство:

\(
x < -1, \quad x > 2;
\)

Таким образом, область определения: \( x < -1 \) или \( x > 2 \).

Однако, корень \( x = -1 \) не удовлетворяет области определения.

Ответ: корней нет.

7)
\(
2 \log_7(-x) = \log_7(x + 6);
\)
Умножим обе стороны на 2:

\(
\log_7 x^2 = \log_7(x + 6);
\)
Приравниваем аргументы логарифмов:

\(
x^2 = x + 6;
\)
Соберем все в одну сторону:

\(
x^2 — x — 6 = 0;
\)
Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25,
\)
Таким образом, корни будут:

\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)
Теперь проверим область определения:

\(
-x > 0 — x < 0;
\)
Таким образом, из найденных корней только \(x = -2\) подходит.

Ответ: \(-2\).

8)
\(
\ln(x^2 — 2x — 8) = 2 \ln \sqrt{-4x};
\)
Используем свойство логарифмов:

\(
\ln(x^2 — 2x — 8) = \ln((-4x)^{2}) = \ln(16x^2);
\)
Приравниваем аргументы логарифмов:

\(
x^2 — 2x — 8 = 16x^2;
\)
Соберем все в одну сторону:

\(
x^2 — 16x^2 — 2x — 8 = 0;
\)
Упрощаем:

\(
-15x^2 — 2x — 8 = 0.
\)
Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot (-15) \cdot (-8) = 4 — 480 = -476.
\)
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Область определения:
Поскольку мы имеем логарифм, необходимо, чтобы аргумент был положительным:

\(
x^2 — 2x — 8 > 0.
\)
Находим дискриминант для этого неравенства:

\(
D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\)
Корни будут:

\(
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\)
Теперь определим знак выражения \(x^2 — 2x — 8\):

Неравенство \( (x + 2)(x — 4) > 0 \):

Решение: \( x < -2 \quad \text{или} \quad x > 4. \)

Таким образом, окончательная область определения будет: \( x < -4. \)

\(
-4x > 0, \quad x < 0;
\)
Ответ: \(-4\).