ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.365 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\lg(2x — 1) + \lg(x + 5) = \lg 13;
\)

2)
\(
\log_3(2x — 7) + \log_3(x — 1) = 2 + \log_3 2;
\)

3)
\(
\log_{0.5}(4 — x) + \log_{0.5}(x — 1) = -1;
\)

4)
\(
\log_7(-x) + \log_7(1 — x) = \log_7(x + 3).
\)

1)
\(
\lg(2x — 1) + \lg(x + 5) = \lg 13;
\)
\(
\lg((2x — 1)(x + 5)) = \lg 13;
\)
\(
2x^2 + 10x — x — 5 = 13;
\)
\(
2x^2 + 9x — 18 = 0;
\)
\(
D = 9^2 + 4 \cdot 2 \cdot 18 = 81 + 144 = 225,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = 1.5;
\)
Область определения:
\(
2x — 1 > 0, \quad x + 5 > 0;
\)
\(
x > 0.5, \quad x > -5;
\)
Ответ: \(1.5\).

2)
\(
\log_3(2x — 7) + \log_3(x — 1) = 2 + \log_3 2;
\)
\(
\log_3((2x — 7)(x — 1)) = \log_3(3^2 \cdot 2);
\)
\(
2x^2 — 2x — 7x + 7 = 18;
\)
\(
2x^2 — 9x — 11 = 0;
\)
\(
D = 9^2 + 4 \cdot 2 \cdot 11 = 81 + 88 = 169,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{9 — 13}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 13}{2 \cdot 2} = 5.5;
\)
Область определения:
\(
2x — 7 > 0, \quad x — 1 > 0;
\)
\(
x > 3.5, \quad x > 1;
\)
Ответ: \(5.5\).

3)
\(
\log_{0.5}(4 — x) + \log_{0.5}(x — 1) = -1;
\)
\(
\log_{0.5}((4 — x)(x — 1)) = \log_{0.5} 2;
\)
\(
4x — 4 — x^2 + x = 2;
\)
\(
x^2 — 5x + 6 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\)
Область определения:
\(
4 — x > 0, \quad x — 1 > 0;
\)
\(
x < 4, \quad x > 1;
\)
Ответ: \(2; 3\).

4)
\(
\log_7(-x) + \log_7(1 — x) = \log_7(x + 3);
\)
\(
\log_7(-x(1 — x)) = \log_7(x + 3);
\)
\(
-x + x^2 = x + 3;
\)
\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
Область определения:
\(
-x > 0, \quad 1 — x > 0, \quad x + 3 > 0;
\)
\(
x < 0, \quad x < 1, \quad x > -3;
\)
Ответ: \(-1\).

1)
\(
\lg(2x — 1) + \lg(x + 5) = \lg 13;
\)
Сначала используем свойство логарифмов, чтобы объединить логарифмы:

\(
\lg((2x — 1)(x + 5)) = \lg 13;
\)
Так как логарифмы равны, мы можем приравнять аргументы:

\(
(2x — 1)(x + 5) = 13;
\)
Раскроем скобки:

\(
2x^2 + 10x — x — 5 = 13;
\)
Упрощаем уравнение:

\(
2x^2 + 9x — 5 — 13 = 0;
\)
Получаем:

\(
2x^2 + 9x — 18 = 0;
\)
Теперь находим дискриминант:

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225,
\)
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:

\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5;
\)
Теперь проверим область определения. Для логарифмов необходимо, чтобы их аргументы были положительными:

1. \(2x — 1 > 0 — x > 0.5;\)
2. \(x + 5 > 0 — x > -5;\)

Таким образом, область определения требует, чтобы \(x > 0.5\). Из найденных корней подходит только \(x = 1.5\).

Ответ: \(1.5\).

2)
\(
\log_3(2x — 7) + \log_3(x — 1) = 2 + \log_3 2;
\)
Сначала используем свойство логарифмов для объединения:

\(
\log_3((2x — 7)(x — 1)) = \log_3(3^2 \cdot 2);
\)
Так как логарифмы равны, приравниваем аргументы:

\(
(2x — 7)(x — 1) = 9 \cdot 2 = 18;
\)
Раскроем скобки:

\(
2x^2 — 2x — 7x + 7 = 18;
\)
Соберем все в одну сторону:

\(
2x^2 — 9x + 7 — 18 = 0;
\)
Получаем:

\(
2x^2 — 9x — 11 = 0;
\)
Теперь находим дискриминант:

\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169,
\)
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:

\(
x_1 = \frac{9 — \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 — 13}{4} = \frac{-4}{4} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{9 + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 13}{4} = \frac{22}{4} = 5.5;
\)
Теперь проверим область определения. Для логарифмов необходимо, чтобы их аргументы были положительными:

1. \(2x — 7 > 0 — x > 3.5;\)
2. \(x — 1 > 0 — x > 1;\)

Таким образом, область определения требует, чтобы \(x > 3.5\). Из найденных корней подходит только \(x = 5.5\).

Ответ: \(5.5\).

3)
\(
\log_{0.5}(4 — x) + \log_{0.5}(x — 1) = -1;
\)
Сначала используем свойство логарифмов, чтобы объединить логарифмы:

\(
\log_{0.5}((4 — x)(x — 1)) = -1;
\)
Поскольку \(\log_{0.5} 2 = -1\), мы можем записать:

\(
\log_{0.5}((4 — x)(x — 1)) = \log_{0.5} 2;
\)
Теперь приравняем аргументы:

\(
(4 — x)(x — 1) = 2;
\)
Раскроем скобки:

\(
4x — 4 — x^2 + x = 2;
\)
Упрощаем уравнение:

\(
-x^2 + 5x — 4 — 2 = 0;
\)
Получаем:

\(
-x^2 + 5x — 6 = 0;
\)
Умножим на -1:

\(
x^2 — 5x + 6 = 0;
\)
Теперь находим дискриминант:

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,
\)
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:

\(
x_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2,
\)
\(
x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3;
\)
Теперь проверим область определения. Для логарифмов необходимо, чтобы их аргументы были положительными:

1. \(4 — x > 0 — x < 4;\)
2. \(x — 1 > 0 — x > 1;\)

Таким образом, из найденных корней \(x = 2\) и \(x = 3\) подходят оба.

Ответ: \(2; 3\).

4)
\(
\log_7(-x) + \log_7(1 — x) = \log_7(x + 3);
\)
Сначала используем свойство логарифмов, чтобы объединить логарифмы:

\(
\log_7(-x(1 — x)) = \log_7(x + 3);
\)
Теперь приравняем аргументы:

\(
-x(1 — x) = x + 3;
\)
Раскроем скобки:

\(
-x + x^2 = x + 3;
\)
Соберем все в одну сторону:

\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)
Теперь находим дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16,
\)
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:

\(
x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3;
\)
Теперь проверим область определения. Для логарифмов необходимо, чтобы их аргументы были положительными:

1. \(-x > 0 — x < 0;\)
2. \(1 — x > 0 — x < 1;\)
3. \(x + 3 > 0 — x > -3;\)

Таким образом, из найденных корней \(x = -1\) подходит, а \(x = 3\) не подходит, так как не удовлетворяет условию \(x < 0\).

Ответ: \(-1\).