ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.366 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
3(\log_3 x)^2 + 7\log_3 x — 6 = 0;
\)

2)
\(
\ln^2 x — 4\ln x — 21 = 0;
\)

3)
\(
\frac{2}{\lg x + 2} — \frac{1}{\lg x — 4} = 1;
\)

4)
\(
\lg^2 x + 2\lg x — 20 = 5^{\log_5 \lg x};
\)

5)
\(
\log_3 x^2 \cdot \log_3 \left(\frac{x}{9}\right) = 6;
\)

6)
\(
(\log_5 x^3)^2 — 5\log_5 x^2 + 1 = 0;
\)

7)
\(
\log_7 \left(\frac{7}{x}\right) + (\log_7 x)^3 = 1;
\)

8)
\(
\log_9 x + \log_x 9 = 2.5.
\)

1)
\(
3 \log_3^2 x + 7 \log_3 x — 6 = 0;
\)
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121,
\)
тогда:
\(
\log_3 x_1 = \frac{-7 — 11}{2 \cdot 3} = -3 \quad \text{и} \quad \log_3 x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3};
\)
\(
x_1 = 3^{-3} = \frac{1}{27} \quad \text{и} \quad x_2 = 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{9};
\)
Ответ: \(\frac{1}{27}, \sqrt[3]{9}\).

2)
\(
(\ln x)^2 — 4 \ln x — 21 = 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100,
\)
тогда:
\(
\ln x_1 = \frac{4 — 10}{2} = -3 \quad \text{и} \quad \ln x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7;
\)
\(
x_1 = e^{-3} = \frac{1}{e^3} \quad \text{и} \quad x_2 = e^7;
\)
Ответ: \(\frac{1}{e^3}, e^7\).

3)
\(
\frac{2}{\lg(x + 2)} — \frac{1}{\lg(x — 4)} = 1;
\)
\(
2(\lg(x — 4)) — (\lg(x + 2)) = (\lg(x + 2))(\lg(x — 4));
\)
\(
2 \lg x — 8 — \lg x^2 = \lg^2 x — 4 \lg x + 2 \lg x — 8;
\)
\(
\lg^2 x — 3 \lg x + 2 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}
\)
\(
\lg x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \lg x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)
\(
x_1 = 10^1 = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = 10^2 = 100;
\)
Ответ: \(10; 100\).

4)
\(
\lg^2 x + 2 \lg x — 20 = 5^{\log_5 \lg x};
\)
\(
\lg^2 x + 2 \lg x — 20 = \lg x;
\)
\(
\lg^2 x + \lg x — 20 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, \text{ тогда:}
\)
\(
\lg x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad \lg x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;
\)
\(
x_1 = 10^{-5} \quad \text{и} \quad x_2 = 10^4 = 10\,000;
\)
Область определения:
\(
\lg x > 0, \quad x > 1;
\)
Ответ: \(10\,000\).

5)
\(
\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6;
\)
\(
2 \log_3 x \cdot (\log_3 x — 2) = 6;
\)
\(
2 \log_3^2 x — 4 \log_3 x — 6 = 0;
\)
\(
\log_3^2 x — 2 \log_3 x — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_3 x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \log_3 x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
\(
x_1 = 3^{-1} \quad \text{и} \quad x_2 = 3^3 = 27;
\)
Ответ: \(\frac{1}{3}; 27\).

6)
\(
\log_5^2 x^3 — 5 \log_5 x^2 + 1 = 0;
\)
\(
9 \log_5^2 x — 10 \log_5 x + 1 = 0;
\)
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_5 x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 9} = \frac{1}{9} \quad \text{и} \quad \log_5 x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = 1;
\)
\(
x_1 = 5^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{5} \quad \text{и} \quad x_2 = 5^1 = 5;
\)
Ответ: \(\sqrt[9]{5}; 5\).

7)
\(
\log_7 \frac{7}{x} + \log_7^3 x = 1;
\)
\(
(1 — \log_7 x) + \log_7^3 x = 1;
\)
\(
\log_7^3 x — \log_7 x = 0;
\)
\(
\log_7 x (\log_7^2 x — 1) = 0;
\)
\(
(\log_7 x + 1) \log_7 x (\log_7 x — 1) = 0;
\)
\(
\log_7 x_1 = -1, \quad \log_7 x_2 = 0, \quad \log_7 x_3 = 1;
\)
\(
x_1 = 7^{-1} = \frac{1}{7}, \quad x_2 = 7^0 = 1, \quad x_3 = 7^1 = 7;
\)
Ответ: \(\frac{1}{7}; 1; 7\).

8)
\(
\log_9 x + \log_x 9 = 2.5;
\)
\(
2 \log_3^2 x + 2 = 5 \log_9 x;
\)
\(
2 \log_3^2 x — 5 \log_9 x + 2 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_9 x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \log_9 x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\)
\(
x_1 = 9^{\frac{1}{2}} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = 9^2 = 81;
\)
Ответ: \(3; 81\).

1)
Решим уравнение:
3 \(\log_3^2 x + 7 \log_3 x — 6 = 0\).
Это квадратное уравнение относительно \(\log_3 x\).
Обозначим \(y = \log_3 x\). Тогда уравнение принимает вид:
\(3y^2 + 7y — 6 = 0\).

Находим дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\).

Теперь находим корни уравнения:
\(y_1 = \frac{-7 — \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 — 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3\)
и
\(y_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
\(x_1 = 3^{-3} = \frac{1}{27}\)
и
\(x_2 = 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{9}\).

Ответ: \(\frac{1}{27}, \sqrt[3]{9}\).

2)
Решим уравнение:
\((\ln x)^2 — 4 \ln x — 21 = 0\).
Обозначим \(y = \ln x\). Тогда уравнение принимает вид:
\(y^2 — 4y — 21 = 0\).

Находим дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\).

Теперь находим корни уравнения:
\(y_1 = \frac{4 — \sqrt{100}}{2} = \frac{4 — 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
и
\(y_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\).

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
\(x_1 = e^{-3} = \frac{1}{e^3}\)
и
\(x_2 = e^7\).

Ответ: \(\frac{1}{e^3}, e^7\).

3)
Решим уравнение:
\(\frac{2}{\lg(x + 2)} — \frac{1}{\lg(x — 4)} = 1\).
Умножим обе части на \(\lg(x + 2) \cdot \lg(x — 4)\):
\(2\lg(x — 4) — \lg(x + 2) = \lg(x + 2)\lg(x — 4)\).

Перепишем это уравнение как:
\(2\lg(x — 4) — \lg(x + 2) = (\lg(x + 2))(\lg(x — 4))\).

Переносим все в одну часть:
\(2\lg(x — 4) — \lg(x + 2) — (\lg(x + 2))(\lg(x — 4)) = 0\).

Преобразуем уравнение:
\(2\lg x — 8 — \lg^2 x + 4\lg x — 2\lg x + 8 = 0\),
что упрощается до:
\(\lg^2 x — 3\lg x + 2 = 0\).

Теперь находим дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).

Теперь находим корни уравнения:
\(\lg x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\)
и
\(\lg x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\).

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
\(x_1 = 10^1 = 10\)
и
\(x_2 = 10^2 = 100\).

Ответ: \(10; 100\).

4)
Решим уравнение:
\(\lg^2 x + 2 \lg x — 20 = 5^{\log_5 \lg x}\).
Поскольку \(5^{\log_5 \lg x} = \lg x\), уравнение можно переписать так:
\(\lg^2 x + 2 \lg x — 20 = \lg x\).
Переносим \(\lg x\) в левую часть:
\(\lg^2 x + 2 \lg x — \lg x — 20 = 0\),
что упрощается до:
\(\lg^2 x + \lg x — 20 = 0\).

Теперь находим дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\).

Теперь находим корни уравнения:
\(\lg x_1 = \frac{-1 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 — 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)
и
\(\lg x_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\).

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
\(x_1 = 10^{-5}\)
и
\(x_2 = 10^4 = 10\,000\).

Область определения:
\(\lg x > 0\) означает, что \(x > 1\).

Ответ: \(10\,000\).

5)
Решим уравнение:
\(\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6\).
Запишем это как:
\(2 \log_3 x \cdot (\log_3 x — 2) = 6\).

Раскроем скобки:
\(2 \log_3^2 x — 4 \log_3 x — 6 = 0\).
Теперь делим на 2:
\(\log_3^2 x — 2 \log_3 x — 3 = 0\).

Находим дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).

Теперь находим корни уравнения:
\(\log_3 x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
и
\(\log_3 x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\).

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
\(x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3}\)
и
\(x_2 = 3^3 = 27\).

Ответ: \(\frac{1}{3}; 27\).

6)
Решим уравнение:
\(\log_5^2 x^3 — 5 \log_5 x^2 + 1 = 0\).
Запишем это как:
\(9 \log_5^2 x — 10 \log_5 x + 1 = 0\).

Находим дискриминант:
\(D = (-10)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 — 36 = 64\).

Теперь находим корни уравнения:
\(\log_5 x_1 = \frac{10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 — 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\)
и
\(\log_5 x_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1\).

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
\(x_1 = 5^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{5}\)
и
\(x_2 = 5^1 = 5\).

Ответ: \(\sqrt[9]{5}; 5\).

7)
Решим уравнение:
\(\log_7 \frac{7}{x} + \log_7^3 x = 1\).
Используем свойство логарифмов \(\log_a \frac{b}{c} = \log_a b — \log_a c\):
\(\log_7 7 — \log_7 x + \log_7^3 x = 1\).
Поскольку \(\log_7 7 = 1\), уравнение становится:
\(1 — \log_7 x + \log_7^3 x = 1\).
Убираем единицы:
\(- \log_7 x + \log_7^3 x = 0\).
Теперь можно переписать это уравнение как:
\(\log_7^3 x — \log_7 x = 0\).

Факторизуем:
\(\log_7 x (\log_7^2 x — 1) = 0\).

Это уравнение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) \(\log_7 x = 0\)
2) \(\log_7^2 x — 1 = 0\).

Решим первое уравнение:
\(\log_7 x = 0\) означает, что \(x_2 = 7^0 = 1\).

Решим второе уравнение:
\(\log_7^2 x — 1 = 0\) можно переписать как \(\log_7^2 x = 1\).
Извлекаем корень:
\(\log_7 x = 1\) или \(\log_7 x = -1\).

Решаем:
Для \(\log_7 x = 1\) получаем \(x_3 = 7^1 = 7\).
Для \(\log_7 x = -1\) получаем \(x_1 = 7^{-1} = \frac{1}{7}\).

Ответ: \(\frac{1}{7}; 1; 7\).

8)
Решим уравнение:
\(\log_9 x + \log_x 9 = 2.5\).
Используем свойство логарифмов: \(\log_x 9 = \frac{1}{\log_9 x}\).
Подставляем это в уравнение:
\(\log_9 x + \frac{1}{\log_9 x} = 2.5\).

Обозначим \(y = \log_9 x\). Тогда уравнение принимает вид:
\(y + \frac{1}{y} = 2.5\).

Умножим обе стороны на \(y\):
\(y^2 + 1 = 2.5y\).
Переносим все в одну сторону:
\(y^2 — 2.5y + 1 = 0\).

Находим дискриминант:
\(D = (2.5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 6.25 — 4 = 2.25\).

Теперь находим корни уравнения:
\(y_1 = \frac{2.5 — \sqrt{2.25}}{2} = \frac{2.5 — 1.5}{2} = \frac{1}{2}\)
и
\(y_2 = \frac{2.5 + \sqrt{2.25}}{2} = \frac{2.5 + 1.5}{2} = 2\).

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):
Для \(y_1\):
\(y_1 = \log_9 x_1 \Rightarrow x_1 = 9^{\frac{1}{2}} = 3\).

Для \(y_2\):
\(y_2 = \log_9 x_2 \Rightarrow x_2 = 9^2 = 81\).

Ответ: \(3; 81\).