ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.367 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
x^{(\log_5 x — 2)} = 125;
\)

2)
\(
x^{\lg x} = 100x;
\)

3)
\(
x^{(2 \log_7 x)} = 7x;
\)

4)
\(
x^{\log_6 x} = \frac{36}{x}.
\)

1)
\(
x^{\log_5 x — 2} = 125;
\)
\(
\log_5 x^{\log_5 x — 2} = \log_5 125;
\)
\(
\log_5 x \cdot (\log_5 x — 2) = 3;
\)
\(
(\log_5 x)^2 — 2 \log_5 x — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_5 x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \log_5 x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
\(
x_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5} \quad \text{и} \quad x_2 = 5^3 = 125;
\)
Ответ: \(\frac{1}{5}; 125\).

2)
\(
x^{\lg x} = 100 x;
\)
\(
x^{\lg x — 1} = 100;
\)
\(
\lg x^{\lg x — 1} = \lg 100;
\)
\(
\lg x \cdot (\lg x — 1) = 2;
\)
\(
(\lg x)^2 — \lg x — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)
\(
\lg x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \lg x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
x_1 = 10^{-1} = 0.1 \quad \text{и} \quad x_2 = 10^2 = 100;
\)
Ответ: \(0.1; 100\).

3)
\(
x^{2 \log_7 x} = 7x;
\)
\(
x^{2 \log_7 x — 1} = 7;
\)
\(
\log_7 x^{2 \log_7 x — 1} = \log_7 7;
\)
\(
\log_7 x \cdot (2 \log_7 x — 1) = 1;
\)
\(
2 \log_7^2 x — \log_7 x — 1 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_7 x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \log_7 x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\)
\(
x_1 = 7^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \quad \text{и} \quad x_2 = 7^1 = 7;
\)
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{7}}; 7\).

4)
\(
x^{\log_6 x} = \frac{36}{x};
\)
\(
x^{\log_6 x + 1} = 36;
\)
\(
\log_6 x^{\log_6 x + 1} = \log_6 36;
\)
\(
\log_6 x \cdot (\log_6 x + 1) = 2;
\)
\(
(\log_6 x)^2 + \log_6 x — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_6 x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad \log_6 x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)
\(
x_1 = 6^{-2} = \frac{1}{36} \quad \text{и} \quad x_2 = 6^1 = 6;
\)
Ответ: \(\frac{1}{36}; 6\).

1) Решим уравнение:

\(
x^{\log_5 x — 2} = 125.
\)

Применим логарифм по основанию 5 к обеим сторонам:

\(
\log_5 x^{\log_5 x — 2} = \log_5 125.
\)

Согласно свойству логарифмов, мы можем вынести показатель:

\(
\log_5 x \cdot (\log_5 x — 2) = 3.
\)

Теперь обозначим \(y = \log_5 x\). Уравнение становится:

\(
y(y — 2) = 3.
\)

Раскроем скобки:

\(
y^2 — 2y — 3 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\(
y_1 = \frac{2 — \sqrt{D}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1,
\)
\(
y_2 = \frac{2 + \sqrt{D}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3.
\)

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

Для \(y_1 = -1\):

\(
\log_5 x_1 = -1 — x_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}.
\)

Для \(y_2 = 3\):

\(
\log_5 x_2 = 3 — x_2 = 5^3 = 125.
\)

Ответ: \(\frac{1}{5}; 125\).

2) Решим уравнение:

\(
x^{\lg x} = 100 x.
\)

Перепишем уравнение в следующем виде:

\(
x^{\lg x — 1} = 100.
\)

Теперь применим логарифм по основанию 10 к обеим сторонам:

\(
\lg x^{\lg x — 1} = \lg 100.
\)

Согласно свойству логарифмов, мы можем вынести показатель:

\(
(\lg x)(\lg x — 1) = 2.
\)

Раскроем скобки:

\(
(\lg x)^2 — \lg x — 2 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Теперь находим корни уравнения:

\(
\lg x_1 = \frac{1 — \sqrt{D}}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1,
\)
\(
\lg x_2 = \frac{1 + \sqrt{D}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

Для \(x_1\):

\(
\lg x_1 = -1 — x_1 = 10^{-1} = 0.1.
\)

Для \(x_2\):

\(
\lg x_2 = 2 — x_2 = 10^2 = 100.
\)

Ответ: \(0.1; 100\).

3) Решим уравнение:

\(
x^{2 \log_7 x} = 7x.
\)

Разделим обе стороны на \(x\) (при \(x \neq 0\)):

\(
x^{2 \log_7 x — 1} = 7.
\)

Применим логарифм по основанию 7 к обеим сторонам:

\(
\log_7 x^{2 \log_7 x — 1} = \log_7 7.
\)

Согласно свойству логарифмов, мы можем вынести показатель:

\(
\log_7 x \cdot (2 \log_7 x — 1) = 1.
\)

Теперь обозначим \(y = \log_7 x\). Уравнение становится:

\(
2y^2 — y — 1 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.
\)

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\(
y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2},
\)
\(
y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1.
\)

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

Для \(y_1 = -\frac{1}{2}\):

\(
\log_7 x_1 = -\frac{1}{2} — x_1 = 7^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{7}}.
\)

Для \(y_2 = 1\):

\(
\log_7 x_2 = 1 — x_2 = 7^1 = 7.
\)

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{7}}; 7\).

4) Решим уравнение:

\(
x^{\log_6 x} = \frac{36}{x}.
\)

Умножим обе стороны на \(x\):

\(
x^{\log_6 x + 1} = 36.
\)

Применим логарифм по основанию 6 к обеим сторонам:

\(
\log_6 x^{\log_6 x + 1} = \log_6 36.
\)

Согласно свойству логарифмов, мы можем вынести показатель:

\(
\log_6 x \cdot (\log_6 x + 1) = 2.
\)

Теперь обозначим \(z = \log_6 x\). Уравнение становится:

\(
z^2 + z — 2 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\(
z_1 = \frac{-1 — \sqrt{D}}{2} = \frac{-1 — 3}{2} = -2,
\)
\(
z_2 = \frac{-1 + \sqrt{D}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
\)

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

Для \(z_1 = -2\):

\(
\log_6 x_1 = -2 — x_1 = 6^{-2} = \frac{1}{36}.
\)

Для \(z_2 = 1\):

\(
\log_6 x_2 = 1 — x_2 = 6^1 = 6.
\)

Ответ: \(\frac{1}{36}; 6\).