ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.368 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1)
\(
\log_7 (2x — 1) < 2;
\)

2)
\(
\log_{1/2} (2x — 3) > 1;
\)

3)
\(
\log_4 (x + 1) < -\frac{1}{2};
\)

4)
\(
\lg (x^2 + x + 8) > 1;
\)

5)
\(
\log_{0.2} (x^2 + 4x) > -1;
\)

6)
\(
\log_5 (x^2 + 2x — 3) < 1;
\)

7)
\(
\log_{0.6} (x^2 + 4x + 4) > 0;
\)

8)
\(
\log_3 \left(\frac{2x + 1}{x + 1}\right) > 1;
\)

9)
\(
\log_{1/6} \left(\frac{x + 2}{x^2}\right) < 0.
\)

1)
\(
\log_7 (2x — 1) < 2;
\)
\(
2x — 1 < 49;
\)
\(
2x < 50;
\)
\(
x < 25;
\)
Область определения:
\(
2x — 1 > 0;
\)
\(
2x > 1;
\)
\(
x > \frac{1}{2};
\)
Ответ: \(\left(\frac{1}{2}, 25\right)\).

2)
\(
\log_{\frac{1}{2}} (2x — 3) > 1;
\)
\(
2x — 3 < \frac{1}{2};
\)
\(
4x — 6 < 1;
\)
\(
4x < 7;
\)
\(
x < \frac{7}{4};
\)
Область определения:
\(
2x — 3 > 0;
\)
\(
2x > 3;
\)
\(
x > \frac{3}{2};
\)
Ответ: \(\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right)\).

3)
\(
\log_4 (x + 1) < -\frac{1}{2};
\)
\(
x + 1 < \frac{1}{2};
\)
\(
x < -\frac{1}{2};
\)
Область определения:
\(
x + 1 > 0;
\)
\(
x > -1;
\)
Ответ: \(\left(-1; -\frac{1}{2}\right)\).

4)
\(
\lg (x^2 + x + 8) > 1;
\)
\(
x^2 + x + 8 > 10;
\)
\(
x^2 + x — 2 > 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)
\(
(x + 2)(x — 1) > 0;
\)
\(
x < -2, \quad x > 1;
\)
Ответ: \((-\infty; -2) \cup (1; +\infty)\).

5)
\(
\log_{0.2} (x^2 + 4x) \geq -1;
\)
\(
x^2 + 4x \leq 5;
\)
\(
x^2 + 4x — 5 \leq 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;
\)
\(
(x + 5)(x — 1) \leq 0;
\)
\(
-5 \leq x \leq 1;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 4x > 0;
\)
\(
x(x + 4) > 0;
\)
\(
x < -4, \quad x > 0;
\)
Ответ: \([-5; -4) \cup (0; 1]\).

6)
\(
\log_5 (x^2 + 2x — 3) \leq 1;
\)
\(
x^2 + 2x — 3 \leq 5;
\)
\(
x^2 + 2x — 8 \leq 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)
\(
(x + 4)(x — 2) \leq 0;
\)
\(
-4 \leq x \leq 2;
\)
Область определения:
\(
x^2 + 2x — 3 > 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
\(
(x + 3)(x — 1) > 0;
\)
\(
x < -3, \quad x > 1;
\)
Ответ: \([-4; -3) \cup (1; 2]\).

7)
\(
\log_{0.6} (x^2 + 4x + 4) > 0;
\)
\(
x^2 + 4x + 4 < 1;
\)
\(
x^2 + 4x + 3 < 0;
\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;
\)
\(
(x + 3)(x + 1) < 0;
\)
\(
-3 < x < -1;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 4x + 4 > 0;
\)
\(
(x + 2)^2 > 0;
\)
\(
x \neq -2;
\)
Ответ: \((-3; -2) \cup (-2; -1)\).

8)
\(
\log_3 \frac{2x + 1}{x + 1} \geq 1;
\)
\(
\frac{2x + 1}{x + 1} \geq 3;
\)
\(
\frac{(3x + 3) — (2x + 1)}{x + 1} \leq 0;
\)
\(
\frac{x + 2}{x + 1} \leq 0;
\)
\(
-2 \leq x < -1;
\)
Ответ: \([-2; -1)\).

9)
\(
\log_{\frac{1}{6}} \frac{x + 2}{x^2} < 0;
\)
\(
\frac{x + 2}{x^2} > 1;
\)
\(
x + 2 > x^2;
\)
\(
x^2 — x — 2 < 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
(x + 1)(x — 2) < 0;
\)
Область определения:
\(
x^2 \neq 0, \quad x \neq 0;
\)
Ответ: \((-1; 0) \cup (0; 2)\).

1)
Решим неравенство:

\(
\log_7 (2x — 1) < 2;
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
2x — 1 < 7^2;
\)

Вычислим \(7^2\):

\(
2x — 1 < 49;
\)

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

\(
2x < 50;
\)

Разделим обе стороны на 2:

\(
x < 25;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
2x — 1 > 0;
\)

Добавим 1 к обеим сторонам:

\(
2x > 1;
\)

Разделим обе стороны на 2:

\(
x > \frac{1}{2};
\)

Таким образом, объединяя оба условия, получаем ответ:

Ответ: \(\left(\frac{1}{2}, 25\right)\).

2)
Решим неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{2}} (2x — 3) > 1;
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
2x — 3 < \frac{1}{2};
\)

Умножим обе стороны на -1 и поменяем знак неравенства:

\(
4x — 6 < 1;
\)

Добавим 6 к обеим сторонам:

\(
4x < 7;
\)

Разделим обе стороны на 4:

\(
x < \frac{7}{4};
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
2x — 3 > 0;
\)

Добавим 3 к обеим сторонам:

\(
2x > 3;
\)

Разделим обе стороны на 2:

\(
x > \frac{3}{2};
\)

Таким образом, объединяя оба условия, получаем ответ:

Ответ: \(\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right)\).

3)
Решим неравенство:

\(
\log_4 (x + 1) < -\frac{1}{2};
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
x + 1 < 4^{-\frac{1}{2}};
\)

Вычислим \(4^{-\frac{1}{2}}\):

\(
x + 1 < \frac{1}{2};
\)

Теперь вычтем 1 из обеих сторон:

\(
x < -\frac{1}{2};
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
x + 1 > 0;
\)

Вычтем 1 из обеих сторон:

\(
x > -1;
\)

Таким образом, объединяя оба условия, получаем ответ:

Ответ: \((-1; -\frac{1}{2})\).

4)
Решим неравенство:

\(
\lg (x^2 + x + 8) > 1;
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
x^2 + x + 8 > 10;
\)

Упрощаем неравенство:

\(
x^2 + x — 2 > 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

Находим корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)

Теперь разложим на множители:

\(
(x + 2)(x — 1) > 0;
\)

Решим неравенство:

\(
x < -2, \quad x > 1;
\)

Ответ: \((-\infty; -2) \cup (1; +\infty)\).

5)
Решим неравенство:

\(
\log_{0.2} (x^2 + 4x) \geq -1;
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
x^2 + 4x \leq 5;
\)

Упрощаем неравенство:

\(
x^2 + 4x — 5 \leq 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36, \text{ тогда:}
\)

Находим корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;
\)

Теперь разложим на множители:

\(
(x + 5)(x — 1) \leq 0;
\)

Решим неравенство:

\(
-5 \leq x \leq 1;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
x^2 + 4x > 0;
\)

Разложим на множители:

\(
x(x + 4) > 0;
\)

Решим неравенство:

\(
x < -4, \quad x > 0;
\)

Объединяя условия, получаем ответ:

Ответ: \([-5; -4) \cup (0; 1]\).

6)
Решим неравенство:

\(
\log_5 (x^2 + 2x — 3) \leq 1;
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
x^2 + 2x — 3 \leq 5;
\)

Упрощаем неравенство:

\(
x^2 + 2x — 8 \leq 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36, \text{ тогда:}
\)

Находим корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)

Теперь разложим на множители:

\(
(x + 4)(x — 2) \leq 0;
\)

Решим неравенство:

\(
-4 \leq x \leq 2;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
x^2 + 2x — 3 > 0;
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\)

Находим корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)

Разложим на множители:

\(
(x + 3)(x — 1) > 0;
\)

Решим неравенство:

\(
x < -3, \quad x > 1;
\)

Объединяя условия, получаем ответ:

Ответ: \([-4; -3) \cup (1; 2]\).

7)
Решим неравенство:

\(
\log_{0.6} (x^2 + 4x + 4) > 0;
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
x^2 + 4x + 4 < 1;
\)

Упрощаем неравенство:

\(
x^2 + 4x + 3 < 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\)

Находим корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;
\)

Теперь разложим на множители:

\(
(x + 3)(x + 1) < 0;
\)

Решим неравенство:

\(
-3 < x < -1;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
x^2 + 4x + 4 > 0;
\)

Это можно записать как:

\(
(x + 2)^2 > 0;
\)

Из этого следует, что:

\(
x \neq -2;
\)

Таким образом, ответ будет:

Ответ: \((-3; -2) \cup (-2; -1)\).

8)
Решим неравенство:

\(
\log_3 \frac{2x + 1}{x + 1} \geq 1;
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
\frac{2x + 1}{x + 1} \geq 3;
\)

Умножим обе стороны на \(x + 1\) (при \(x + 1 > 0\)):

\(
2x + 1 \geq 3(x + 1);
\)

Раскроем скобки:

\(
2x + 1 \geq 3x + 3;
\)

Переносим все на одну сторону:

\(
2x — 3x + 1 — 3 \geq 0;
\)

Упрощаем:

\(
-x — 2 \geq 0;
\)

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:

\(
x + 2 \leq 0;
\)

Таким образом, получаем:

\(
x \leq -2.
\)

Теперь рассмотрим неравенство:

\(
\frac{x + 2}{x + 1} \leq 0;
\)

Решим его. Это неравенство имеет корни в точках \(x = -2\) и \(x = -1\). Определяем знаки на интервалах:

— Для \(x < -2\): выражение положительное.
— Для \(-2 < x < -1\): выражение отрицательное.
— Для \(x > -1\): выражение положительное.

Следовательно, решением будет:

\(
-2 \leq x < -1;
\)

Ответ: \([-2; -1)\).

9)
Решим неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{6}} \frac{x + 2}{x^2} < 0;
\)

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

\(
\frac{x + 2}{x^2} > 1;
\)

Умножим обе стороны на \(x^2\) (при \(x^2 > 0\)):

\(
x + 2 > x^2;
\)

Переносим все на одну сторону:

\(
x^2 — x — 2 < 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

Находим корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Разложим на множители:

\(
(x + 1)(x — 2) < 0;
\)

Решим неравенство:

— Для \(x < -1\): выражение положительное.
— Для \(-1 < x < 2\): выражение отрицательное.
— Для \(x > 2\): выражение положительное.

Следовательно, решением будет:

Область определения:
Необходимо также учесть, что

\(
x^2 \neq 0, \quad x \neq 0;
\)

Таким образом, ответ будет:

Ответ: \((-1; 0) \cup (0; 2)\).