ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.369 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1)
\(
\log_6 (x + 1) < \log_6 (2x + 5);
\)

2)
\(
\log_2 (2x — 3) > \log_2 (3x — 5);
\)

3)
\(
\ln (x^2 — 3) > \ln (3x — 7);
\)

4)
\(
\log_{0.7} (3x — 1) < \log_{0.7} (3 — x);
\)

5)
\(
\log_{0.4} (x^2 + 1) > \log_{0.4} (2x + 25);
\)

6)
\(
\log_{\frac{1}{9}} (1 — x^2) > \log_{\frac{1}{9}} (2x + 2);
\)

7)
\(
2 \log_3 x — \log_3 (2x + 9) < 1;
\)

8)
\(
\lg \left(\frac{x + 3}{x + 4}\right) > \lg \left(\frac{x + 5}{x + 2}\right).
\)

1)
\(
\log_6 (x + 1) < \log_6 (2x + 5);
\)
\(
x + 1 < 2x + 5;
\)
\(
x > -4;
\)
Область определения:
\(
x + 1 > 0;
\)
\(
x > -1;
\)
Ответ: \((-1; +\infty)\).

2)
\(
\log_2 (2x — 3) > \log_2 (3x — 5);
\)
\(
2x — 3 > 3x — 5;
\)
\(
x < 2;
\)
Область определения:
\(
3x — 5 > 0;
\)
\(
3x > 5;
\)
\(
x > \frac{5}{3};
\)
Ответ: \(\left(\frac{5}{3}; 2\right)\).

3)
\(
\ln(x^2 — 3) > \ln(3x — 7);
\)
\(
x^2 — 3 > 3x — 7;
\)
\(
x^2 — 3x + 4 > 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 16 = -7;
\)
\(
D < 0 \text{ и } a > 0, \text{ значит } x \in \mathbb{R};
\)

Область определения:
\(
3x — 7 > 0;
\)
\(
3x > 7;
\)
\(
x > \frac{7}{3};
\)
Ответ: \(\left(\frac{7}{3}; +\infty\right)\).

4)
\(
\log_{0.7} (3x — 1) < \log_{0.7} (3 — x);
\)
\(
3x — 1 > 3 — x;
\)
\(
4x > 4;
\)
\(
x > 1;
\)
Область определения:
\(
3 — x > 0;
\)
\(
x < 3;
\)
Ответ: \((1; 3)\).

5)
\(
\log_{0.4} (x^2 + 1) > \log_{0.4} (2x + 25);
\)
\(
x^2 + 1 < 2x + 25;
\)
\(
x^2 — 2x — 24 < 0;
\)
\(
D = 2^2 — 4 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6;
\)
\(
(x + 4)(x — 6) < 0;
\)
\(
-4 < x < 6;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 1 > 0;
\)
\(
x^2 > -1;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)
Ответ: \((-4; 6)\).

6)
\(
\log_{\frac{1}{9}} (1 — x^2) > \log_{\frac{1}{9}} (2x + 2);
\)
\(
1 — x^2 < 2x + 2;
\)
\(
x^2 + 2x + 1 > 0;
\)
\(
(x + 1)^2 > 0;
\)
\(
x \neq -1;
\)
Область определения:
\(
1 — x^2 > 0;
\)
\(
(x + 1)(x — 1) < 0;
\)
\(
-1 < x < 1;
\)
Ответ: \((-1; 1)\).

7)
\(
2 \log_3 x — \log_3 (2x + 9) \leq 1;
\)
\(
\log_3 \frac{x^2}{2x + 9} \leq \log_3 3;
\)
\(
\frac{x^2}{2x + 9} \leq 3;
\)
\(
x^2 — 6x — 27 \leq 0;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{6 — 12}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9;
\)
\(
\frac{(x + 3)(x — 9)}{2x + 9} \leq 0;
\)
\(
x < -4.5, \quad -3 \leq x \leq 9;
\)
Область определения:
\(
x > 0, \quad 2x + 9 > 0;
\)
\(
x > 0, \quad x > -4.5;
\)
Ответ: \((0; 9]\).

8)
\(
\lg \frac{x + 3}{x + 4} > \lg \frac{x + 5}{x + 2};
\)
\(
\frac{x + 3}{x + 4} > \frac{x + 5}{x + 2};
\)
\(
\frac{(x + 3)(x + 2) — (x + 5)(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)} > 0;
\)
\(
\frac{x^2 + 3x + 2x + 6 — x^2 — 4x — 5x — 20}{(x + 4)(x + 2)} > 0;
\)
\(
\frac{3x + 14}{(x + 4)(x + 2)} < 0;
\)
\(
x < -\frac{14}{3}, \quad -4 < x < -2;
\)
Область определения:
\(
x + 4 > 0, \quad x + 2 > 0;
\)
\(
x > -4, \quad x > -2;
\)
Ответ: \((-\infty; -5)\).

1)
Решим неравенство:

\(
\log_6 (x + 1) < \log_6 (2x + 5);
\)

Перепишем неравенство в виде:

\(
x + 1 < 2x + 5;
\)

Упрощаем:

\(
x + 1 — 2x — 5 < 0;
\)

Это даёт:

\(
-x — 4 < 0;
\)

Перемещаем \( -4 \):

\(
x > -4;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
x + 1 > 0;
\)

Это даёт:

\(
x > -1;
\)

Таким образом, объединяя оба условия, получаем ответ:

Ответ: \((-1; +\infty)\).

2)
Решим неравенство:

\(
\log_2 (2x — 3) > \log_2 (3x — 5);
\)

Перепишем неравенство в виде:

\(
2x — 3 > 3x — 5;
\)

Упрощаем:

\(
2x — 3 — 3x + 5 > 0;
\)

Это даёт:

\(
-x + 2 > 0;
\)

Перемещаем \( 2 \):

\(
x < 2;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
3x — 5 > 0;
\)

Это даёт:

\(
3x > 5;
\)

Разделим обе стороны на 3:

\(
x > \frac{5}{3};
\)

Таким образом, объединяя оба условия, получаем ответ:

Ответ: \(\left(\frac{5}{3}; 2\right)\).

3)
Решим неравенство:

\(
\ln(x^2 — 3) > \ln(3x — 7);
\)

Перепишем неравенство в виде:

\(
x^2 — 3 > 3x — 7;
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 3 — 3x + 7 > 0;
\)

Это даёт:

\(
x^2 — 3x + 4 > 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7;
\)

Так как \( D < 0 \) и \( a > 0 \), это означает, что неравенство выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
3x — 7 > 0;
\)

Это даёт:

\(
3x > 7;
\)

Разделим обе стороны на 3:

\(
x > \frac{7}{3};
\)

Таким образом, ответ будет:

Ответ: \(\left(\frac{7}{3}; +\infty\right)\).

4)
Решим неравенство:

\(
\log_{0.7} (3x — 1) < \log_{0.7} (3 — x);
\)

Перепишем неравенство в виде:

\(
3x — 1 > 3 — x;
\)

Упрощаем:

\(
3x — 1 — 3 + x > 0;
\)

Это даёт:

\(
4x > 4;
\)

Разделим обе стороны на 4:

\(
x > 1;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
3 — x > 0;
\)

Это даёт:

\(
x < 3;
\)

Таким образом, объединяя оба условия, получаем ответ:

Ответ: \((1; 3)\).

5)
Решим неравенство:

\(
\log_{0.4} (x^2 + 1) > \log_{0.4} (2x + 25);
\)

Перепишем неравенство в виде:

\(
x^2 + 1 < 2x + 25;
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 2x — 24 < 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100, \text{ тогда:}
\)

Находим корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6;
\)

Разложим на множители:

\(
(x + 4)(x — 6) < 0;
\)

Решим неравенство:

\(
-4 < x < 6;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
x^2 + 1 > 0;
\)

Это всегда верно, так как \(x^2 > -1\) для всех \(x \in \mathbb{R}\):

\(
x \in \mathbb{R};
\)

Таким образом, ответ будет:

Ответ: \((-4; 6)\).

6)
Решим неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{9}} (1 — x^2) > \log_{\frac{1}{9}} (2x + 2);
\)

Перепишем неравенство в виде:

\(
1 — x^2 < 2x + 2;
\)

Упрощаем:

\(
-x^2 — 2x + 1 < 0;
\)

Это даёт:

\(
x^2 + 2x + 1 > 0;
\)

Разложим на множители:

\(
(x + 1)^2 > 0;
\)

Это верно для всех \(x \neq -1\):

\(
x \neq -1;
\)

Теперь найдем область определения. Для этого решим неравенство:

\(
1 — x^2 > 0;
\)

Это даёт:

\(
(1 — x)(1 + x) > 0;
\)

Решаем неравенство:

\(
-1 < x < 1;
\)

Таким образом, ответ будет:

Ответ: \((-1; 1)\).

7)
Решим неравенство:

\(
2 \log_3 x — \log_3 (2x + 9) \leq 1;
\)

Перепишем неравенство в виде:

\(
\log_3 \frac{x^2}{2x + 9} \leq \log_3 3;
\)

Это означает:

\(
\frac{x^2}{2x + 9} \leq 3;
\)

Умножим обе стороны на \(2x + 9\) (при условии, что \(2x + 9 > 0\)):

\(
x^2 \leq 3(2x + 9);
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 6x — 27 \leq 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144, \text{ тогда:}
\)

Находим корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{6 — 12}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9;
\)

Разложим на множители:

\(
\frac{(x + 3)(x — 9)}{2x + 9} \leq 0;
\)

Теперь определим знаки. У нас есть критические точки \(x = -3\) и \(x = 9\). Рассмотрим интервалы:

1. \(x < -3\)
2. \(-3 \leq x \leq 9\)
3. \(x > 9\)

Проверяем знак в каждом интервале:

— Для \(x < -3\): выбираем \(x = -4\), тогда \(\frac{(-4 + 3)(-4 — 9)}{2(-4) + 9} > 0\).
— Для \(-3 < x < 9\): выбираем \(x = 0\), тогда \(\frac{(0 + 3)(0 — 9)}{2(0) + 9} < 0\).
— Для \(x > 9\): выбираем \(x = 10\), тогда \(\frac{(10 + 3)(10 — 9)}{2(10) + 9} > 0\).

Таким образом, решение:

\(
x < -4.5, \quad -3 \leq x \leq 9;
\)

Область определения:
Рассмотрим условия:

1. \(x > 0\)
2. \(2x + 9 > 0\) (всегда выполняется для \(x > -4.5\))

Таким образом, область определения:

\(
x > 0, \quad x > -4.5;
\)

Ответ: \((0; 9]\).

8)
Решим неравенство:

\(
\lg \frac{x + 3}{x + 4} > \lg \frac{x + 5}{x + 2};
\)

Перепишем неравенство в виде:

\(
\frac{x + 3}{x + 4} > \frac{x + 5}{x + 2};
\)

Умножим обе стороны на \((x + 4)(x + 2)\) (при условии, что оба выражения положительны):

\(
(x + 3)(x + 2) > (x + 5)(x + 4);
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 + 5x + 6 > x^2 + 9x + 20;
\)

Упростим:

\(
5x + 6 > 9x + 20;
\)

Это даёт:

\(
-4x > 14;
\)

Разделим обе стороны на -4 (меняем знак неравенства):

\(
x < -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2};
\)

Теперь проверим также область определения:

1. \(x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4;\)
2. \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2;\)

Таким образом, область определения:

\(
x > -4, \quad x > -2;
\)

Теперь объединяя условия, получаем ответ:

Ответ: \((-\infty; -5)\).