ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сумма 1000 натуральных чисел равна 1001. Чему равно их произведение?

Сумма 1000 натуральных чисел равна 1001:
\(
S = 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 + 2 = 1001;
\)
(999 единиц и двойка)

Произведение всех данных чисел:
\(
D = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot 2 = 2;
\)
(999 единиц и двойка)

Ответ: 2.

Пусть требуется найти произведение всех натуральных чисел, если их сумма равна 1001, а всего чисел — 1000.

Пусть эти числа: \( a_1, a_2, \ldots, a_{1000} \).
Из условия задачи:
\(
a_1 + a_2 + \ldots + a_{1000} = 1001
\)
и каждое \( a_i \) — натуральное число (\( a_i \geq 1 \)).

Рассмотрим, как может быть выполнено это условие.

Если бы все числа были равны 1, их сумма была бы 1000. Чтобы получить сумму 1001, нужно увеличить одно из чисел на 1.
То есть, 999 чисел равны 1, а одно — 2.

Проверим:
\(
\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{999\ \text{раз}} + 2 = 999 \cdot 1 + 2 = 999 + 2 = 1001
\)

Теперь найдём произведение этих чисел:

\(
D = \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{999\ \text{раз}} \cdot 2 = 1^{999} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2
\)

Рассмотрим, можно ли получить большее произведение, если числа будут другими натуральными числами, но сумма останется 1001.

Пусть хотя бы два числа больше единицы, например, \( a \geq 2 \) и \( b \geq 2 \), а остальные — единицы. Тогда
\(
a + b + (1000 — 2) \cdot 1 = 1001 — a + b = 1001 — 998 = 3
\)
Но \( a \geq 2, b \geq 2 — a + b \geq 4 \), что невозможно.

Следовательно, единственный вариант: 999 единиц и одна двойка.

Таким образом, произведение:

\(
D = 1^{999} \cdot 2 = 2
\)

Ответ: 2.