ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.370 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1)
\(
f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \left(\frac{x + 1}{x — 5}\right)};
\)

2)
\(
f(x) = \log_3 \left( \log_{0.3} \left(\frac{x — 2}{x + 3}\right) \right).
\)

1)
\(
f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \frac{x + 1}{x — 5}};
\)

Область определения:
\(
\log_{0.7} \frac{x + 1}{x — 5} \geq 0;
\)
\(
\frac{x + 1}{x — 5} \leq 1;
\)
\(
\frac{(x + 1) — (x — 5)}{x — 5} \leq 0;
\)
\(
\frac{6}{x — 5} \leq 0;
\)
\(
x \leq 5;
\)

Область определения:
\(
x — 5 \neq 0;
\)
\(
x < -1, \quad x > 5;
\)

Ответ:
\(
D(f) = (-\infty; -1).
\)

2)
\(
f(x) = \log_3 \log_{0.3} \frac{x — 2}{x + 3};
\)

Область определения:
\(
\log_{0.3} \frac{x — 2}{x + 3} > 0;
\)
\(
\frac{x — 2}{x + 3} < 1;
\)
\(
\frac{(x — 2) — (x + 3)}{x + 3} < 0;
\)
\(
\frac{-5}{x + 3} < 0;
\)
\(
x > -3;
\)

Область определения:
\(
x + 3 \neq 0;
\)
\(
x < -3, \quad x > 2;
\)

Ответ:
\(
D(f) = (2; +\infty).
\)

1)
Решим область определения функции:

\(
f(x) = \sqrt{\log_{0.7} \frac{x + 1}{x — 5}};
\)

Область определения требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\(
\log_{0.7} \frac{x + 1}{x — 5} \geq 0;
\)

Это неравенство выполняется, когда:

\(
\frac{x + 1}{x — 5} \leq 1;
\)

Умножим обе стороны на \(x — 5\) (при условии, что \(x — 5 > 0\), то есть \(x > 5\)):

\(
(x + 1) — (x — 5) \leq 0;
\)

Упрощаем:

\(
6 \leq 0,
\)

что невозможно. Поэтому рассматриваем случай \(x < 5\).

Теперь проверим, когда:

\(
\frac{x + 1}{x — 5} \leq 1;
\)

Перепишем это неравенство в виде:

\(
(x + 1) — (x — 5) \leq 0;
\)

что даёт:

\(
6 \leq 0,
\)

что также невозможно. Таким образом, мы должны рассмотреть условие:

\(
x — 5 \neq 0;
\)

что даёт:

\(
x \neq 5.
\)

Теперь проверим, когда:

\(
x + 1 > 0;
\)

это даёт:

\(
x > -1.
\)

Таким образом, область определения будет:

Ответ:

\(
D(f) = (-\infty; -1).
\)

2)
Решим область определения функции:

\(
f(x) = \log_3 \log_{0.3} \frac{x — 2}{x + 3};
\)

Область определения требует, чтобы логарифм был положительным:

\(
\log_{0.3} \frac{x — 2}{x + 3} > 0;
\)

Это неравенство выполняется, когда:

\(
\frac{x — 2}{x + 3} < 1;
\)

Умножим обе стороны на \(x + 3\) (при условии, что \(x + 3 > 0\), то есть \(x > -3\)):

\(
(x — 2) — (x + 3) < 0;
\)

Упрощаем:

\(
-5 < 0,
\)

что всегда верно. Следовательно, необходимо учитывать область определения:

Теперь проверим, когда:

\(
x + 3 \neq 0;
\)

это даёт:

\(
x \neq -3.
\)

Теперь проверим, когда:

\(
x — 2 > 0;
\)

это даёт:

\(
x > 2.
\)

Таким образом, область определения будет:

Ответ:

\(
D(f) = (2; +\infty).
\)