ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.371 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1)
\(
\log_2 x + \log_2 (x + 1) < 1;
\)

2)
\(
\log_{\frac{1}{6}} x + \log_{\frac{1}{6}} (x — 1) > \log_{\frac{1}{6}} (x + 3);
\)

3)
\(
\log_3 (4 — x) + \log_3 (x + 3) < 1 + \log_3 (x — 1);
\)

4)
\(
\log_{\frac{1}{2}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) > \log_{\frac{1}{2}} 3 — 1.
\)

1)
\(
\log_2 x + \log_2 (x + 1) \leq 1;
\)
\(
\log_2 x(x + 1) \leq \log_2 2;
\)
\(
x^2 + x \leq 2;
\)
\(
x^2 + x — 2 \leq 0;
\)
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)
\(
(x + 2)(x — 1) \leq 0;
\)
\(
-2 \leq x \leq 1;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad x + 1 > 0;
\)
\(
x > 0, \quad x > -1;
\)

Ответ:
\(
(0; 1].
\)

2)
\(
\log_{\frac{1}{6}} x + \log_{\frac{1}{6}} (x — 1) \geq \log_{\frac{1}{6}} (x + 3);
\)
\(
\log_{\frac{1}{6}} x(x — 1) \geq \log_{\frac{1}{6}} (x + 3);
\)
\(
x^2 — x \leq x + 3;
\)
\(
x^2 — 2x — 3 \leq 0;
\)
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
\(
(x + 1)(x — 3) \leq 0;
\)
\(
-1 \leq x \leq 3;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad x — 1 > 0, \quad x + 3 > 0;
\)
\(
x > 0, \quad x > 1, \quad x > -3;
\)

Ответ:
\(
(1; 3].
\)

3)
\(
\log_3 (4 — x) + \log_3 (x + 3) \leq 1 + \log_3 (x — 1);
\)
\(
\log_3 (4 — x)(x + 3) \leq \log_3 3 (x — 1);
\)
\(
4x + 12 — x^2 — 3x \leq 3x — 3;
\)
\(
x^2 + 2x — 15 \geq 0;
\)
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3;
\)
\(
(x + 5)(x — 3) \geq 0;
\)
\(
x \leq -5, \quad x \geq 3;
\)

Область определения:
\(
4 — x > 0, \quad x + 3 > 0, \quad x — 1 > 0;
\)
\(
x < 4, \quad x > -3, \quad x > 1;
\)

Ответ:
\(
[3; 4).
\)

4)
\(
\log_{\frac{1}{2}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) \geq \log_{\frac{1}{2}} 3 — 1;
\)
\(
\log_{\frac{1}{2}} (x + 2)(x + 3) \geq \log_{\frac{1}{2}} \left(3 \cdot \frac{1}{2}\right);
\)
\(
x^2 + 3x + 2x + 6 \leq 6;
\)
\(
x^2 + 5x \leq 0;
\)
\(
x(x + 5) \leq 0;
\)
\(
-5 \leq x \leq 0;
\)

Область определения:
\(
x + 2 > 0, \quad x + 3 > 0;
\)
\(
x > -2, \quad x > -3;
\)

Ответ:
\(
(-2; 0].
\)

1)
Решим неравенство:

\(
\log_2 x + \log_2 (x + 1) \leq 1;
\)

Согласно свойствам логарифмов, можем объединить логарифмы:

\(
\log_2 (x(x + 1)) \leq \log_2 2;
\)

Это неравенство выполняется, когда:

\(
x(x + 1) \leq 2;
\)

Перепишем его в стандартной форме:

\(
x^2 + x — 2 \leq 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,
\)

тогда корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)

Разложим на множители:

\(
(x + 2)(x — 1) \leq 0;
\)

Теперь определим знаки. Критические точки: \(x = -2\) и \(x = 1\). Рассмотрим интервалы:

1. \(x < -2\)
2. \(-2 \leq x \leq 1\)
3. \(x > 1\)

Проверяем знак в каждом интервале:

— Для \(x < -2\): оба множителя отрицательны, произведение положительно.
— Для \(-2 \leq x \leq 1\): первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно.
— Для \(x > 1\): оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства:

\(-2 \leq x \leq 1;\)

Область определения:

\(
x > 0, \quad x + 1 > 0;
\)

Это даёт:

\(
x > 0, \quad x > -1;
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(
(0; 1].
\)

2)
Решим неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{6}} x + \log_{\frac{1}{6}} (x — 1) \geq \log_{\frac{1}{6}} (x + 3);
\)

Согласно свойствам логарифмов, можем объединить логарифмы:

\(
\log_{\frac{1}{6}} (x(x — 1)) \geq \log_{\frac{1}{6}} (x + 3);
\)

Это неравенство выполняется, когда:

\(
x(x — 1) \leq x + 3;
\)

Перепишем его в стандартной форме:

\(
x^2 — x — x — 3 \leq 0;
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 2x — 3 \leq 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16,
\)

тогда корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

Разложим на множители:

\(
(x + 1)(x — 3) \leq 0;
\)

Теперь определим знаки. Критические точки: \(x = -1\) и \(x = 3\). Рассмотрим интервалы:

1. \(x < -1\)
2. \(-1 \leq x \leq 3\)
3. \(x > 3\)

Проверяем знак в каждом интервале:

— Для \(x < -1\): оба множителя отрицательны, произведение положительно.
— Для \(-1 \leq x \leq 3\): первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно.
— Для \(x > 3\): оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства:

\(-1 \leq x \leq 3;\)

Область определения:

\(
x > 0, \quad x — 1 > 0, \quad x + 3 > 0;
\)

Это даёт:

\(
x > 0, \quad x > 1, \quad x > -3;
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(
(1; 3].
\)

3)
Решим неравенство:

\(
\log_3 (4 — x) + \log_3 (x + 3) \leq 1 + \log_3 (x — 1);
\)

Согласно свойствам логарифмов, объединим логарифмы:

\(
\log_3 \left((4 — x)(x + 3)\right) \leq \log_3 3 + \log_3 (x — 1);
\)

Это можно переписать как:

\(
\log_3 \left((4 — x)(x + 3)\right) \leq \log_3 \left(3(x — 1)\right);
\)

Теперь применим свойства логарифмов и уберем логарифмы:

\(
(4 — x)(x + 3) \leq 3(x — 1);
\)

Раскроем скобки:

\(
4x + 12 — x^2 — 3x \leq 3x — 3;
\)

Упрощаем неравенство:

\(
-x^2 + x + 15 \geq 0;
\)

Перепишем его в стандартной форме:

\(
x^2 — 2x — 15 \geq 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64,
\)

тогда корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{64}}{2} = \frac{2 — 8}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5;
\)

Разложим на множители:

\(
(x + 5)(x — 3) \geq 0;
\)

Теперь определим знаки. Критические точки: \(x = -5\) и \(x = 3\). Рассмотрим интервалы:

1. \(x < -5\)
2. \(-5 \leq x \leq 3\)
3. \(x > 3\)

Проверяем знак в каждом интервале:

— Для \(x < -5\): оба множителя отрицательны, произведение положительно.
— Для \(-5 \leq x \leq 3\): первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно.
— Для \(x > 3\): оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства:

\(
x \leq -5, \quad x \geq 3.
\)

Теперь определим область определения. Условия для логарифмов:

\(
4 — x > 0, \quad x + 3 > 0, \quad x — 1 > 0;
\)

Это означает:

\(
x < 4, \quad x > -3, \quad x > 1;
\)

Объединяя условия области определения, получаем:

\(
x > 1.
\)

Теперь определим пересечение решений неравенства и области определения. Мы имеем:

Решение: \(x \geq 3\) и область определения: \(x > 1\). Таким образом, окончательный ответ:

\(
[3; 4).
\)

4)
Решим неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{2}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) \geq \log_{\frac{1}{2}} 3 — 1;
\)

Объединим логарифмы:

\(
\log_{\frac{1}{2}} \left((x + 2)(x + 3)\right) \geq \log_{\frac{1}{2}} \left(3 \cdot \frac{1}{2}\right);
\)

Это можно переписать как:

\(
\log_{\frac{1}{2}} \left((x + 2)(x + 3)\right) \geq \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{3}{2}\right);
\)

Так как основание логарифма меньше единицы, знак неравенства изменится:

\(
(x + 2)(x + 3) \leq \frac{3}{2};
\)

Перепишем неравенство в стандартной форме:

\(
(x + 2)(x + 3) — \frac{3}{2} \leq 0;
\)

Умножим обе стороны на \(2\):

\(
2(x^2 + 5x + 6) — 3 \leq 0;
\)

Упрощаем:

\(
2x^2 + 10x + 12 — 3 \leq 0;
\)

Это даёт:

\(
2x^2 + 10x + 9 \leq 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (10)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 100 — 72 = 28,
\)

тогда корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-10 — \sqrt{28}}{4} = \frac{-10 — 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-5 — \sqrt{7}}{2},
\)
\(
x_2 = \frac{-10 + \sqrt{28}}{4} = \frac{-10 + 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-5 + \sqrt{7}}{2}.
\)

Разложим на множители:

Необходимо определить знаки. Рассмотрим интервалы между корнями.

Теперь проверим область определения:

Условия для логарифмов:

1. \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2;\)
2. \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3;\)

Объединяя эти условия, получаем:

\(x > -2.\)

Ответ:

Объединяя все условия, получаем ответ в виде интервала.

Ответ:

\( (-2; 0]. \)