ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.372 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1)
\(
\lg^2 x — \lg x > 0;
\)

2)
\(
\ln^2 x + \ln x < 0;
\)

3)
\(
3(\log_8 x)^2 + 2 \log_8 x — 5 > 0;
\)

4)
\(
(\log_{\frac{1}{3}} (-x))^2 — \log_{\frac{1}{3}} (-x) < 2;
\)

5)
\(
\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3}{\lg x — 1} > 1;
\)

6)
\(
\frac{(\log_6 x)^2 + 2 \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 1.
\)

1)
\(
\lg^2 x — \lg x \geq 0;
\)
\(
\lg x \cdot (\lg x — 1) \geq 0;
\)
\(
\lg x \leq 0, \quad \lg x \geq 1;
\)
\(
0 < x \leq 1, \quad x \geq 10;
\)
Ответ:
\(
(0; 1] \cup [10; +\infty).
\)

2)
\(
\ln^2 x + \ln x \leq 0;
\)
\(
\ln x \cdot (\ln x + 1) \leq 0;
\)
\(
-1 \leq \ln x \leq 0;
\)
\(
\frac{1}{e} \leq x \leq 1;
\)
Ответ:
\(
\left[\frac{1}{e}; 1\right].
\)

3)
\(
3 \log_8^2 x + 2 \log_8 x — 5 \geq 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_8 x_1 = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = -\frac{5}{3}, \quad \log_8 x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = 1;
\)
\(
(\log_8 x + \frac{5}{3})(\log_8 x — 1) \geq 0;
\)

\(
\log_8 x \leq -\frac{5}{3}, \quad \log_8 x \geq 1;
\)
\(
0 < x \leq \frac{1}{32}, \quad x \geq 8;
\)
Ответ:
\(
\left(0; \frac{1}{32}\right] \cup [8; +\infty).
\)

4)
\(
\log_{\frac{1}{3}}^2 (-x) — \log_{\frac{1}{3}} (-x) \leq 2;
\)
\(
\log_{\frac{1}{3}}^2 (-x) — \log_{\frac{1}{3}} (-x) — 2 \leq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_{\frac{1}{3}} (-x_1) = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad \log_{\frac{1}{3}} (-x_2) = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
\left(\log_{\frac{1}{3}} (-x) + 1\right)\left(\log_{\frac{1}{3}} (-x) — 2\right) \leq 0;
\)
\(
-1 \leq \log_{\frac{1}{3}} (-x) \leq 2;
\)
\(
\frac{1}{9} \leq -x \leq 3;
\)
\(
-3 \leq x \leq -\frac{1}{9};
\)
Ответ:
\(
[-3; -\frac{1}{9}].
\)

5)
\(
\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3}{\lg x — 1} > 1;
\)

\(
\frac{\lg^2 x — 4 \lg x + 4}{\lg x — 1} > 0;
\)
\(
\frac{(\lg x — 2)^2}{\lg x — 1} > 0;
\)
\(
\lg x > 1, \quad \lg x \neq 2;
\)
\(
x > 10, \quad x \neq 100;
\)
Ответ:
\(
(10; 100) \cup (100; +\infty).
\)

6)
\(
\frac{\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 1;
\)
\(
\frac{\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 6 — \log_6 x}{\log_6 x} < 0;
\)
\(
\frac{\log_6^2 x + \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}
\)
\(
\log_6 x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad \log_6 x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)
\(
(\log_6 x + 3)(\log_6 x — 2) < 0;
\)
\(
\log_6 x < -3, \quad 0 < \log_6 x < 2;
\)
\(
0 < x < \frac{1}{216}, \quad 1 < x < 36;
\)
Ответ:
\(
(0; \frac{1}{216}) \cup (1; 36).
\)

1)

Решим неравенство:

\(
\lg^2 x — \lg x \geq 0;
\)

Это неравенство можно Factorize:

\(
\lg x (\lg x — 1) \geq 0;
\)

Теперь определим, при каких значениях \(\lg x\) будет выполняться это неравенство.

1. Первое условие: \(\lg x \geq 0\) (это означает, что \(x \geq 1\)).
2. Второе условие: \(\lg x — 1 \leq 0\) (это означает, что \(x \leq 10\)).

Таким образом, мы получаем два интервала:

\(
0 < x \leq 1 \quad \text{и} \quad x \geq 10.
\)

Ответ:

\(
(0; 1] \cup [10; +\infty).
\)

2)

Решим неравенство:

\(
\ln^2 x + \ln x \leq 0;
\)

Это можно записать как:

\(
\ln x (\ln x + 1) \leq 0;
\)

Теперь определим, при каких значениях \(\ln x\) будет выполняться это неравенство.

1. Первое условие: \(\ln x \leq 0\) (это означает, что \(x \leq 1\)).
2. Второе условие: \(\ln x + 1 \geq 0\) (это означает, что \(\ln x \geq -1\), или \(x \geq \frac{1}{e}\)).

Таким образом, мы получаем интервал:

\(
\frac{1}{e} \leq x \leq 1.
\)

Ответ:

\(
\left[\frac{1}{e}; 1\right].
\)

3)

Решим неравенство:

\(
3 \log_8^2 x + 2 \log_8 x — 5 \geq 0;
\)

Сначала найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64.
\)

Теперь найдем корни уравнения:

\(
\log_8 x_1 = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = -\frac{5}{3}, \quad \log_8 x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = 1.
\)

Теперь мы можем разложить на множители:

\(
(\log_8 x + \frac{5}{3})(\log_8 x — 1) \geq 0.
\)

Теперь определим, при каких значениях будет выполняться это неравенство.

1. Первое условие: \(\log_8 x \leq -\frac{5}{3}\) (это означает, что \(x \leq 8^{-\frac{5}{3}}\)).
2. Второе условие: \(\log_8 x \geq 1\) (это означает, что \(x \geq 8^1 = 8\)).

Теперь найдем значения для \(x\):

— Для первого условия: \(x = 8^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{32}\).
— Для второго условия: \(x = 8^1 = 8\).

Таким образом, мы получаем два интервала:

\(
0 < x \leq \frac{1}{32}, \quad x \geq 8.
\)

Ответ:

\(
(0; \frac{1}{32}] \cup [8; +\infty).
\)

4)

Решим неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{3}}^2 (-x) — \log_{\frac{1}{3}} (-x) \leq 2;
\)

Это можно записать как:

\(
\log_{\frac{1}{3}}^2 (-x) — \log_{\frac{1}{3}} (-x) — 2 \leq 0;
\)

Обозначим \(y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)\). Тогда неравенство принимает вид:

\(
y^2 — y — 2 \leq 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Теперь мы имеем:

\(
(y + 1)(y — 2) \leq 0.
\)

Это неравенство выполняется, когда:

\(
-1 \leq y \leq 2.
\)

Подставим обратно \(y\):

\(
-1 \leq \log_{\frac{1}{3}} (-x) \leq 2.
\)

Теперь решим каждое из условий. Первое условие:

\(
-1 \leq \log_{\frac{1}{3}} (-x) — -x \geq \frac{1}{3} — x \leq -\frac{1}{3}.
\)

Второе условие:

\(
\log_{\frac{1}{3}} (-x) \leq 2 — -x \leq 9 — x \geq -9.
\)

Таким образом, мы получаем интервал:

\(
-9 \leq x \leq -\frac{1}{3}.
\)

Ответ:

\(
[-9; -\frac{1}{3}].
\)

5)

Решим неравенство:

\(
\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3}{\lg x — 1} > 1;
\)

Перепишем его следующим образом:

\(
\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3}{\lg x — 1} — 1 > 0;
\)

Объединим дроби:

\(
\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3 — (\lg x — 1)}{\lg x — 1} > 0;
\)

Упрощаем числитель:

\(
\lg^2 x — 4 \lg x + 4 > 0;
\)

Теперь это можно записать как:

\(
\frac{(\lg x — 2)^2}{\lg x — 1} > 0.
\)

Это неравенство выполняется, когда:

1. Числитель положителен: \((\lg x — 2)^2 > 0\), что верно при \(\lg x \neq 2\), то есть \(x \neq 100\).
2. Знаменатель положителен: \(\lg x — 1 > 0\), что означает \(x > 10\).

Таким образом, получаем ответ:

\(
(10; 100) \cup (100; +\infty).
\)

6)

Решим неравенство:

\(
\frac{\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 1;
\)

Перепишем его следующим образом:

\(
\frac{\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 6 — \log_6 x}{\log_6 x} < 0;
\)

Упрощаем дробь:

\(
\frac{\log_6^2 x + \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 0;
\)

Теперь найдем дискриминант для числителя:

\(
D = (1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\)

Корни уравнения:

\(
\log_6 x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad \log_6 x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2.
\)

Теперь мы имеем:

\(
(\log_6 x + 3)(\log_6 x — 2) < 0.
\)

Это неравенство выполняется в интервале между корнями:

\(
-3 < \log_6 x < 2.
\)

Переведем это в значения \(x\):

Первое неравенство:

\(
-3 < \log_6 x — x > 6^{-3} = \frac{1}{216}.
\)

Второе неравенство:

\(
\log_6 x < 2 — x < 6^2 = 36.
\)

Таким образом, получаем ответ:

\(
(0; \frac{1}{216}) \cup (1; 36).
\)