ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.373 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

1) \( y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} — 1 \);

2) \( y = (x^2 + x + 1)(x^2 — 4x + 1) \);

3) \( y = \frac{3x — 1}{x^2 + 1} \);

4) \( y = (3 — 2x) \sqrt{x} \);

5) \( y = \sqrt{x} \sin(x) \);

6) \( y = 2^x \cos(x) \);

7) \( y = (2x — 1)^6 \);

8) \( y = \sqrt{x}(x^3 — 3x) \);

9) \( y = \log_3(2x^2 — 3x + 1) \);

10) \( y = 14^{2 — 5x} \);

11) \( y = x^3 + \ln(6x — 1) \);

12) \( y = \frac{3}{x} — \frac{2}{x^2} + \frac{4}{x^5} \).

1)
\(
y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} — 1;
\)
\(
y'(x) = 6x^5 + 2 \cdot 4x^3 + 4 \cdot (-2x^{-3});
\)
\(
y'(x) = 6x^5 + 8x^3 — \frac{8}{x^3};
\)

2)
\(
y = (x^2 + x + 1)(x^2 — 4x + 1);
\)
\(
y = x^4 — 4x^3 + x^2 + x^3 — 4x^2 + x + x^2 — 4x + 1;
\)
\(
y = x^4 — 3x^3 — 2x^2 — 3x + 1;
\)
\(
y'(x) = 4x^3 — 3 \cdot 3x^2 — 2 \cdot 2x — 3;
\)
\(
y'(x) = 4x^3 — 9x^2 — 4x — 3;
\)

3)
\(
y = \frac{3x — 1}{x^2 + 1};
\)
\(
y'(x) = \frac{3(x^2 + 1) — (3x — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2};
\)
\(
y'(x) = \frac{3x^2 + 3 — 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2};
\)
\(
y'(x) = \frac{2x — 3x^2 + 3}{(x^2 + 1)^2};
\)

4)
\(
y = (3 — 2x) \sqrt{x};
\)
\(
y'(x) = -2 \sqrt{x} + (3 — 2x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}};
\)
\(
y'(x) = \frac{-4x + 3 — 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{3 — 6x}{2\sqrt{x}};
\)

5)
\(
y = \sqrt{x} \sin x;
\)
\(
y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x;
\)

\(
y'(x) = \frac{\sin x + 2x \cos x}{2 \sqrt{x}};
\)

6)
\(
y = 2^x \cos x;
\)
\(
y'(x) = 2^x \ln 2 \cdot \cos x + 2^x \cdot (-\sin x);
\)
\(
y'(x) = 2^x (\ln 2 \cos x — \sin x);
\)

7)
\(
y = (2x — 1)^6;
\)
\(
y'(x) = 6(2x — 1)^5 \cdot 2;
\)
\(
y'(x) = 12(2x — 1)^5;
\)

8)
\(
y = \sqrt{x^3 — 3x};
\)
\(
y'(x) = \frac{3x^2 — 3}{2 \sqrt{x^3 — 3x}};
\)

9)
\(
y = \log_3 (2x^2 — 3x + 1);
\)
\(
y'(x) = \frac{2 \cdot 2x — 3}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3};
\)
\(
y'(x) = \frac{4x — 3}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3};
\)

10)
\(
y = 14^{2 — 5x};
\)
\(
y'(x) = -5 \cdot 14^{2 — 5x} \cdot \ln 14;
\)

11)
\(
y = x^3 + \ln(6x — 1);
\)
\(
y'(x) = 3x^2 + \frac{6}{6x — 1};
\)

12)
\(
y = \frac{3}{x^2} — \frac{2}{x^3} + \frac{4}{x^5};
\)
\(
y'(x) = 3(-2x^{-3}) — 2(-3x^{-4}) + 4(-5x^{-6});
\)
\(
y'(x) = -\frac{6}{x^2} + \frac{6}{x^3} — \frac{20}{x^6};
\)

1)
\(
y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} — 1;
\)
Сначала найдем производную каждого слагаемого:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^6) + \frac{d}{dx}(2x^4) + \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x^2}\right) — \frac{d}{dx}(1);
\)
\(
y’ = 6x^5 + 8x^3 — 4 \cdot 2x^{-3} = 6x^5 + 8x^3 — \frac{8}{x^3};
\)

2)
\(
y = (x^2 + x + 1)(x^2 — 4x + 1);
\)
Используем правило произведения:
\(
y’ = (x^2 + x + 1)'(x^2 — 4x + 1) + (x^2 + x + 1)(x^2 — 4x + 1)’;
\)
Находим производные:
\(
(x^2 + x + 1)’ = 2x + 1, \quad (x^2 — 4x + 1)’ = 2x — 4;
\)
Подставляем:
\(
y’ = (2x + 1)(x^2 — 4x + 1) + (x^2 + x + 1)(2x — 4);
\)
Раскрываем скобки и упрощаем:
\(
y’ = (2x^3 — 8x^2 + 2x + x^2 — 4x + 1)(2x — 4);
\)
Итог:
\(
y’ = 4x^3 — 9x^2 — 4x — 3;
\)

3)
\(
y = \frac{3x — 1}{x^2 + 1};
\)
Используем правило деления:
\(
y’ = \frac{(3)(x^2+1) — (3x-1)(2x)}{(x^2+1)^2};
\)
Теперь упрощаем числитель:
\(
y'(x) = \frac{2x — 3x^2 + 3}{(x^2 + 1)^2};
\)

4)
\(
y = (3 — 2x) \sqrt{x};
\)
Используем правило произведения:
\(
y’ = (3 — 2x)’ \sqrt{x} + (3 — 2x) \left(\sqrt{x}\right)’;
\)
Находим производные:
\(
(3 — 2x)’ = -2, \quad \left(\sqrt{x}\right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}};
\)
Подставляем:
\(
y’ = -2 \sqrt{x} + (3 — 2x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}};
\)
Упрощаем:
\(
y’ = \frac{-4x + (3 — 2x)}{2\sqrt{x}} = \frac{3 — 6x}{2\sqrt{x}};
\)

5)
\(
y = \sqrt{x} \sin x;
\)
Используем правило произведения:
\(
y’ = \left(\sqrt{x}\right)’ \sin x + \sqrt{x} \left(\sin x\right)’;
\)
Находим производные:
\(
\left(\sqrt{x}\right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad \left(\sin x\right)’ = \cos x;
\)
Подставляем:
\(
y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin x + \sqrt{x} \cos x;
\)
Объединяем:
\(
y’ = \frac{\sin x + 2x \cos x}{2 \sqrt{x}};
\)

6)
\(
y = 2^x \cos x;
\)
Используем правило произведения:
\(
y’ = (2^x)’ \cos x + 2^x (\cos x)’;
\)
Находим производные:
\(
(2^x)’ = 2^x \ln 2, \quad (\cos x)’ = -\sin x;
\)
Подставляем:
\(
y’ = 2^x \ln 2 \cos x + 2^x (-\sin x);
\)
Объединяем:
\(
y’ = 2^x (\ln 2 \cos x — \sin x);
\)

7)
\(
y = (2x — 1)^6;
\)
Используем правило цепочки:
\(
y’ = 6(2x — 1)^5 (2);
\)
Итог:
\(
y’ = 12(2x — 1)^5;
\)

8)
\(
y = \sqrt{x^3 — 3x};
\)
Используем правило цепочки:
\(
y’ = \frac{1}{2\sqrt{x^3 — 3x}} (3x^2 — 3);
\)
Итог:
\(
y’ = \frac{3x^2 — 3}{2\sqrt{x^3 — 3x}};
\)

9)
\(
y = \log_3 (2x^2 — 3x + 1);
\)
Используем правило производной логарифма:
\(
y’ = \frac{1}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3} \cdot (2x^2 — 3x + 1)’;
\)
Находим производную внутренней функции:
\(
(2x^2 — 3x + 1)’ = 4x — 3;
\)
Подставляем:
\(
y’ = \frac{4x — 3}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3};
\)

10)
\(
y = 14^{2 — 5x};
\)
Используем правило производной степенной функции:
\(
y’ = 14^{2 — 5x} \cdot \ln(14) \cdot (2 — 5x)’;
\)
Находим производную внутренней функции:
\(
(2 — 5x)’ = -5;
\)
Подставляем:
\(
y’ = -5 \cdot 14^{2 — 5x} \cdot \ln(14);
\)

11)
\(
y = x^3 + \ln(6x — 1);
\)
Находим производные каждого слагаемого:
\(
y’ = (x^3)’ + (\ln(6x — 1))’;
\)
Находим производную первого слагаемого:
\(
(x^3)’ = 3x^2;
\)
Для второго слагаемого используем правило производной логарифма:
\(
(\ln(6x — 1))’ = \frac{6}{6x — 1};
\)
Подставляем:
\(
y’ = 3x^2 + \frac{6}{6x — 1};
\)

12)
\(
y = \frac{3}{x^2} — \frac{2}{x^3} + \frac{4}{x^5};
\)
Находим производные каждого слагаемого:
\(
y’ = \left(\frac{3}{x^2}\right)’ — \left(\frac{2}{x^3}\right)’ + \left(\frac{4}{x^5}\right)’;
\)
Используем правило производной для дробей:
\(
\left(\frac{a}{b}\right)’ = \frac{a’b — ab’}{b^2};
\)
Находим производные:
\(
\left(\frac{3}{x^2}\right)’ = -6x^{-3}, \quad \left(\frac{2}{x^3}\right)’ = -6x^{-4}, \quad \left(\frac{4}{x^5}\right)’ = -20x^{-6};
\)
Подставляем:
\(
y’ = -6x^{-3} + 6x^{-4} — 20x^{-6};
\)
Объединяем в одну дробь:
\(
y’ = -\frac{6}{x^2} + \frac{6}{x^3} — \frac{20}{x^6};
\)