ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.374 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите значение производной данной функции в точке \( x_0 \):

1) \( f(x) = \frac{3x^2}{1 — x}, \quad x_0 = -1; \)

2) \( f(x) = \sqrt{5x^2 — 2x}, \quad x_0 = 2; \)

3) \( f(x) = (x^2 — 2x + 3) \cos(x), \quad x_0 = 0; \)

4) \( f(x) = \frac{1 + \sin(x)}{4 — \sin(x)}, \quad x_0 = 0; \)

5) \( f(x) = \cos(2x) — \sin\left(\frac{\pi}{3}\right), \quad x_0 = \frac{\pi}{2}; \)

6) \( f(x) = \frac{\ln x}{x}, \quad x_0 = 1; \)

7) \( f(x) = e^{2x — 1}, \quad x_0 = \frac{1}{2}. \)

1)
\(
f(x) = \frac{3x^2}{1 — x}, \quad x_0 = -1;
\)
\(
f'(x) = \frac{3 \cdot 2x \cdot (1 — x) — 3x^2 \cdot (-1)}{(1 — x)^2};
\)
\(
f'(-1) = \frac{-6 \cdot 2 + 3}{2^2} = \frac{3 — 12}{4} = -\frac{9}{4};
\)
Ответ: \(-\frac{9}{4}\).

2)
\(
f(x) = \sqrt{5x^2 — 2x}, \quad x_0 = 2;
\)
\(
f'(x) = \frac{5 \cdot 2x — 2}{2 \sqrt{5x^2 — 2x}};
\)
\(
f'(2) = \frac{20 — 2}{2 \sqrt{20 — 4}} = \frac{18}{2 \sqrt{16}} = \frac{9}{4};
\)
Ответ: \(\frac{9}{4}\).

3)
\(
f(x) = (x^2 — 2x + 3) \cos x, \quad x_0 = 0;
\)
\(
f'(x) = (2x — 2) \cos x + (x^2 — 2x + 3) \cdot (-\sin x);
\)
\(
f'(0) = (0 — 2) \cdot 1 + (0 — 0 + 3) \cdot 0 = -2 + 0 = -2;
\)
Ответ: \(-2\).

4)
\(
f(x) = \frac{1 + \sin x}{4 — \sin x}, \quad x_0 = 0;
\)
\(
f'(x) = \frac{\cos x (4 — \sin x) — (1 + \sin x) \cdot (-\cos x)}{(4 — \sin x)^2};
\)
\(
f'(0) = \frac{1 \cdot (4 — 0) — (1 + 0) \cdot (-1)}{(4 — 0)^2} = \frac{4 + 1}{4^2} = \frac{5}{16};
\)
Ответ: \(\frac{5}{16}\).

5)
\(
f(x) = \cos 2x — \sin \frac{\pi}{3}, \quad x_0 = \frac{\pi}{2};
\)
\(
f'(x) = 2 \cdot (-\sin 2x) = -2 \sin 2x;
\)
\(
f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \sin \pi = -2 \cdot 0 = 0;
\)
Ответ: 0.

6)
\(
f(x) = \frac{\ln x}{x}, \quad x_0 = 1;
\)
\(
f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 — \ln x}{x^2};
\)
\(
f'(1) = \frac{1 — \ln 1}{1^2} = 1 — 0 = 1;
\)
Ответ: 1.

7)
\(
f(x) = e^{2x — 1}, \quad x_0 = \frac{1}{2};
\)
\(
f'(x) = 2 e^{2x — 1};
\)
\(
f’\left(\frac{1}{2}\right) = 2 e^{2 \cdot \frac{1}{2} — 1} = 2 e^0 = 2;
\)
Ответ: 2..

1)
\(
f(x) = \frac{3x^2}{1 — x}, \quad x_0 = -1;
\)
Сначала найдем производную, используя правило деления:
\(
f'(x) = \frac{(3 \cdot 2x)(1 — x) — (3x^2)(-1)}{(1 — x)^2};
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = \frac{6x(1 — x) + 3x^2}{(1 — x)^2} = \frac{6x — 6x^2 + 3x^2}{(1 — x)^2} = \frac{6x — 3x^2}{(1 — x)^2};
\)
Теперь подставим \( x = -1 \):
\(
f'(-1) = \frac{6(-1) — 3(-1)^2}{(1 — (-1))^2} = \frac{-6 — 3}{2^2} = \frac{-9}{4};
\)
Ответ: \(-\frac{9}{4}\).

2)
\(
f(x) = \sqrt{5x^2 — 2x}, \quad x_0 = 2;
\)
Используем правило производной корня:
\(
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5x^2 — 2x}} \cdot (10x — 2);
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = \frac{10x — 2}{2\sqrt{5x^2 — 2x}} = \frac{5x — 1}{\sqrt{5x^2 — 2x}};
\)
Теперь подставим \( x = 2 \):
\(
f'(2) = \frac{5(2) — 1}{\sqrt{5(2)^2 — 2(2)}} = \frac{10 — 1}{\sqrt{20 — 4}} = \frac{9}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4};
\)
Ответ: \(\frac{9}{4}\).

3)
\(
f(x) = (x^2 — 2x + 3) \cos x, \quad x_0 = 0;
\)
Используем правило произведения:
\(
f'(x) = (2x — 2)\cos x + (x^2 — 2x + 3)(-\sin x);
\)
Теперь подставим \( x = 0 \):
\(
f'(0) = (0 — 2)\cdot 1 + (0 — 0 + 3)\cdot 0 = -2 + 0 = -2;
\)
Ответ: \(-2\).

4)
\(
f(x) = \frac{1 + \sin x}{4 — \sin x}, \quad x_0 = 0;
\)
Используем правило деления:
\(
f'(x) = \frac{\cos x(4 — \sin x) — (1 + \sin x)(-\cos x)}{(4 — \sin x)^2};
\)
Теперь подставим \( x = 0 \):
\(
f'(0) = \frac{\cos(0)(4 — \sin(0)) — (1 + \sin(0))(-\cos(0))}{(4 — \sin(0))^2} = \frac{1 \cdot 4 — (1)(-1)}{4^2} = \frac{4 + 1}{16} = \frac{5}{16};
\)
Ответ: \(\frac{5}{16}\).

5)
\(
f(x) = \cos 2x — \sin \frac{\pi}{3}, \quad x_0 = \frac{\pi}{2};
\)
Находим производную:
\(
f'(x) = -2 \sin 2x;
\)
Теперь подставим \( x = \frac{\pi}{2} \):
\(
f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -2 \sin \pi = -2 \cdot 0 = 0;
\)
Ответ: 0.

6)
\(
f(x) = \frac{\ln x}{x}, \quad x_0 = 1;
\)
Используем правило деления:
\(
f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{x}\right) \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 — \ln x}{x^2};
\)
Теперь подставим \( x = 1 \):
\(
f'(1) = \frac{1 — \ln 1}{1^2} = \frac{1 — 0}{1} = 1;
\)
Ответ: 1.

7)
\(
f(x) = e^{2x — 1}, \quad x_0 = \frac{1}{2};
\)
Находим производную:
\(
f'(x) = 2 e^{2x — 1};
\)
Теперь подставим \( x = \frac{1}{2} \):
\(
f’\left(\frac{1}{2}\right) = 2 e^{2 \cdot \frac{1}{2} — 1} = 2 e^{1 — 1} = 2 e^0 = 2;
\)
Ответ: 2.