ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.376 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции \( f \) в точке с абсциссой \( x_0 \):

1) \( f(x) = \sqrt{25 — x^2}, \quad x_0 = -3; \)

2) \( f(x) = \sin(2x), \quad x_0 = \frac{\pi}{4}; \)

3) \( f(x) = \cos^2(x), \quad x_0 = \frac{\pi}{12}. \)

1)
\(
f(x) = \sqrt{25 — x^2}, \quad x_0 = -3;
\)
\(
f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{25 — x^2}};
\)
\(
f'(-3) = \frac{6}{2 \sqrt{25 — 9}} = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4};
\)
Ответ: \(\frac{3}{4}\).

2)
\(
f(x) = \sin 2x, \quad x_0 = \frac{\pi}{4};
\)
\(
f'(x) = 2 \cos 2x;
\)
\(
f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0;
\)
Ответ: 0.

3)
\(
f(x) = \cos^2 x, \quad x_0 = \frac{\pi}{12};
\)
\(
f'(x) = 2 \cos x \cdot (-\sin x);
\)
\(
f'(x) = — \sin 2x;
\)
\(
f’\left(\frac{\pi}{12}\right) = — \sin \frac{\pi}{6} = — \frac{1}{2};
\)
Ответ: \(-\frac{1}{2}\).

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции \( f \) в точке с абсциссой \( x_0 \):

1)
\(
f(x) = \sqrt{25 — x^2}, \quad x_0 = -3;
\)
Для нахождения углового коэффициента касательной, нужно найти производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{25 — x^2} \right);
\)
Используем правило производной корня:
\(
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{25 — x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{2\sqrt{25 — x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{25 — x^2}};
\)
Теперь подставим \( x = -3 \):
\(
f'(-3) = \frac{-(-3)}{\sqrt{25 — (-3)^2}} = \frac{3}{\sqrt{25 — 9}} = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4};
\)
Ответ: \(\frac{3}{4}\).

2)
\(
f(x) = \sin 2x, \quad x_0 = \frac{\pi}{4};
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = 2 \cos 2x;
\)
Теперь подставим \( x = \frac{\pi}{4} \):
\(
f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 = 0;
\)
Ответ: 0.

3)
\(
f(x) = \cos^2 x, \quad x_0 = \frac{\pi}{12};
\)
Находим производную функции, используя правило производной сложной функции:
\(
f'(x) = 2 \cos x \cdot (-\sin x);
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = -2 \cos x \sin x = -\sin(2x);
\)
Теперь подставим \( x = \frac{\pi}{12} \):
\(
f’\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2};
\)
Ответ: \(-\frac{1}{2}\).