ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.377 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой \( x_0 \):

1) \( f(x) = \sin(2x), \quad x_0 = \frac{\pi}{6}; \)

2) \( f(x) = \frac{2}{x}, \quad x_0 = -2; \)

3) \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right), \quad x_0 = \pi; \)

4) \( f(x) = (x — 1) \sqrt{2x + 1}, \quad x_0 = 4. \)

1)
\(
f(x) = \sin 2x, \quad x_0 = \frac{\pi}{6};
\)
\(
f'(x) = 2 \cos 2x;
\)
\(
f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
\(
f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1;
\)
Уравнение касательной:
\(
y = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \left(x — \frac{\pi}{6}\right);
\)
\(
y = x — \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2};
\)

2)
\(
f(x) = \frac{2}{x}, \quad x_0 = -2;
\)
\(
f'(x) = 2 \cdot (-x^{-2}) = -\frac{2}{x^2};
\)
\(
f(-2) = \frac{2}{-2} = -1;
\)
\(
f'(-2) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2};
\)
Уравнение касательной:
\(
y = -1 — \frac{1}{2}(x + 2);
\)
\(
y = -\frac{1}{2}x — 2;
\)

3)
\(
f(x) = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right), \quad x_0 = \pi;
\)
\(
f'(x) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right);
\)
\(
f(\pi) = \cos\left(\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{12}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
f'(\pi) = -\frac{1}{3} \sin \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6};
\)
Уравнение касательной:
\(
y = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{6} (x — \pi);
\)
\(
y = -\frac{\sqrt{2}}{6} x + \frac{\pi \sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

4)
\(
f(x) = (x — 1) \sqrt{2x + 1}, \quad x_0 = 4;
\)
\(
f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2x + 1} + (x — 1) \cdot \frac{2}{2 \sqrt{2x + 1}} = \sqrt{2x + 1} + \frac{x — 1}{\sqrt{2x + 1}};
\)
\(
f(4) = 3 \cdot \sqrt{8 + 1} = 3 \sqrt{9} = 3 \cdot 3 = 9;
\)
\(
f'(4) = \sqrt{9} + 3 \cdot \frac{2}{2 \sqrt{9}} = 3 + 1 = 4;
\)
Уравнение касательной:
\(
y = 9 + 4(x — 4);
\)
\(
y = 4x — 7;
\)

1)
\(
f(x) = \sin 2x, \quad x_0 = \frac{\pi}{6};
\)
Для нахождения углового коэффициента касательной, нужно найти производную функции:
\(
f'(x) = 2 \cos 2x;
\)
Теперь подставим \( x = \frac{\pi}{6} \):
\(
f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
Теперь находим производную в этой точке:
\(
f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1;
\)
Уравнение касательной можно записать в виде:
\(
y = f\left(\frac{\pi}{6}\right) + f’\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(x — \frac{\pi}{6}\right);
\)
Подставляем значения:
\(
y = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \left(x — \frac{\pi}{6}\right);
\)
Упрощаем:
\(
y = x — \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2};
\)

2)
\(
f(x) = \frac{2}{x}, \quad x_0 = -2;
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = 2 \cdot (-x^{-2}) = -\frac{2}{x^2};
\)
Теперь подставим \( x = -2 \):
\(
f(-2) = \frac{2}{-2} = -1;
\)
Находим производную в этой точке:
\(
f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2};
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(-2) + f'(-2)(x + 2);
\)
Подставляем значения:
\(
y = -1 — \frac{1}{2}(x + 2);
\)
Упрощаем:
\(
y = -\frac{1}{2}x — 1 — 1 = -\frac{1}{2}x — 2;
\)

3)
\(
f(x) = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right), \quad x_0 = \pi;
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right);
\)
Теперь подставим \( x = \pi \):
\(
f(\pi) = \cos\left(\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{12} — \frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
Находим производную в этой точке:
\(
f'(\pi) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6};
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(\pi) + f'(\pi)(x — \pi);
\)
Подставляем значения:
\(
y = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{6}(x — \pi);
\)
Упрощаем:
\(
y = -\frac{\sqrt{2}}{6} x + \frac{\pi \sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

4)
\(
f(x) = (x — 1)\sqrt{2x + 1}, \quad x_0 = 4;
\)
Находим производную функции с использованием правила произведения:
\(
f'(x) = (x — 1)\cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x + 1}\right) + \sqrt{2x + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x — 1);
\)
Находим производные:
\(
f'(x) = (x — 1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}}\cdot 2 + \sqrt{2x + 1} \cdot 1;
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = (x — 1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} + \sqrt{2x + 1};
\)
Теперь подставим \( x = 4 \):
\(
f(4) = (4 — 1)\sqrt{2(4) + 1} = 3\sqrt{8 + 1} = 3\sqrt{9} = 3 \cdot 3 = 9;
\)
Находим производную в этой точке:
\(
f'(4) = (4 — 1)\cdot \frac{1}{3} + 3;
\)
Упрощаем:
\(
f'(4) = 1 + 3 = 4;
\)
Уравнение касательной:
\(
y = f(4) + f'(4)(x — 4);
\)
Подставляем значения:
\(
y = 9 + 4(x — 4);
\)
Упрощаем:
\(
y = 4x — 16 + 9;
\)
Итоговое уравнение касательной:
\(
y = 4x — 7;
\)