ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.380 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения с осями координат касательных к графику функции

\(
f(x) = \frac{x + 4}{x — 5}
\)

угловой коэффициент которых равен \( -1 \).

Дана функция:
\(
f(x) = \frac{x + 4}{x — 5};
\)

1) Коэффициент касательной:
\(
f'(x) = \frac{1 \cdot (x — 5) — (x + 4) \cdot 1}{(x — 5)^2} = -1;
\)
\(
x — 5 — x — 4 = -(x^2 — 10x + 25);
\)
\(
-9 = -x^2 + 10x — 25;
\)
\(
x^2 — 10x + 16 = 0;
\)
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 16 = 100 — 64 = 36,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8;
\)

2) Первая касательная:
\(
f(2) = \frac{2 + 4}{2 — 5} = \frac{6}{-3} = -2;
\)
\(
y = -2 \cdot 1 \cdot (x — 2);
\)
\(
y = -2 — x + 2 = -x;
\)

3) Вторая касательная:
\(
f(8) = \frac{8 + 4}{8 — 5} = \frac{12}{3} = 4;
\)
\(
y = 4 \cdot 1 \cdot (x — 8);
\)
\(
y = 4 — x + 8 = 12 — x;
\)

Ответ:
\(
(0; 0); \quad (0; 12); \quad (12; 0).
\)

Дана функция:
\(
f(x) = \frac{x + 4}{x — 5};
\)

1) Найдем производную функции для определения углового коэффициента касательной:
\(
f'(x) = \frac{(1)(x — 5) — (x + 4)(1)}{(x — 5)^2} = \frac{x — 5 — x — 4}{(x — 5)^2} = \frac{-9}{(x — 5)^2}.
\)
Установим равенство производной и углового коэффициента касательной:
\(
f'(x) = -1.
\)
Тогда получаем:
\(
\frac{-9}{(x — 5)^2} = -1.
\)
Умножим обе стороны на \((x — 5)^2\):
\(
-9 = -(x — 5)^2.
\)
Убираем знак минус:
\(
9 = (x — 5)^2.
\)
Теперь извлечем корень:
\(
x — 5 = \pm 3.
\)
Решим это уравнение:
\(
x — 5 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 8,
\)
\(
x — 5 = -3 \quad \Rightarrow \quad x = 2.
\)

Таким образом, мы нашли два значения \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 8 \).

2) Теперь найдем ординату для первой касательной при \( x_1 = 2 \):
\(
f(2) = \frac{2 + 4}{2 — 5} = \frac{6}{-3} = -2.
\)
Уравнение касательной можно записать в виде:
\(
y — f(2) = f'(2)(x — 2).
\)
Зная, что \( f'(2) = -1 \), получаем:
\(
y + 2 = -1(x — 2).
\)
Упростим уравнение:
\(
y + 2 = -x + 2.
\)
Таким образом, уравнение первой касательной:
\(
y = -x.
\)

3) Теперь найдем ординату для второй касательной при \( x_2 = 8 \):
\(
f(8) = \frac{8 + 4}{8 — 5} = \frac{12}{3} = 4.
\)
Уравнение касательной будет:
\(
y — f(8) = f'(8)(x — 8).
\)
Зная, что \( f'(8) = -1 \), получаем:
\(
y — 4 = -1(x — 8).
\)
Упростим уравнение:
\(
y — 4 = -x + 8.
\)
Таким образом, уравнение второй касательной:
\(
y = 12 — x.
\)

Теперь найдем координаты точек пересечения касательных с осями координат.

Для первой касательной \( y = -x \):
— Пересечение с осью \( y \): \( x = 0 \Rightarrow y = 0 \), координаты \( (0, 0) \).
— Пересечение с осью \( x \): \( y = 0 \Rightarrow x = 0 \), координаты \( (0, 0) \).

Для второй касательной \( y = 12 — x \):
— Пересечение с осью \( y \): \( x = 0 \Rightarrow y = 12 \), координаты \( (0, 12) \).
— Пересечение с осью \( x \): \( y = 0 \Rightarrow x = 12 \), координаты \( (12, 0) \).

Ответ:
\(
(0; 0); \quad (0; 12); \quad (12; 0).
\)