ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.382 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Составьте уравнение касательной к графику функции

\(
f(x) = x^4 — 4x^3 + 5x
\)

которая параллельна прямой

\(
y = 5x — 8.
\)

Даны парабола и прямая:
\(
f(x) = x^4 — 4x^3 + 5x, \quad y = 5x — 8;
\)

1) Коэффициент касательной:
\(
f'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 + 5 = 5;
\)
\(
4x^2 (x — 3) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3;
\)

2) Первая касательная:
\(
f(0) = 0 — 0 + 0 = 0;
\)
\(
y = 0 + 5(x — 0) = 5x;
\)

3) Вторая касательная:
\(
f(3) = 81 — 108 + 15 = -12;
\)
\(
y = -12 + 5(x — 3);
\)
\(
y = -12 + 5x — 15 = 5x — 27;
\)

Ответ:
\(
y = 5x; \quad y = 5x — 27.
\)

Даны парабола и прямая:
\(
f(x) = x^4 — 4x^3 + 5x, \quad y = 5x — 8;
\)

1) Найдем производную функции \( f(x) \) для определения углового коэффициента касательной:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 — 4x^3 + 5x) = 4x^3 — 12x^2 + 5.
\)
Установим равенство производной и углового коэффициента прямой, который равен \( 5 \):
\(
4x^3 — 12x^2 + 5 = 5.
\)
Упростим уравнение:
\(
4x^3 — 12x^2 = 0.
\)
Вынесем общий множитель:
\(
4x^2(x — 3) = 0.
\)
Получаем два решения:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3.
\)

2) Найдем первую касательную при \( x_1 = 0 \):
\(
f(0) = 0^4 — 4 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0 = 0.
\)
Уравнение касательной можно записать в виде:
\(
y — f(0) = f'(0)(x — 0).
\)
Вычислим производную в точке \( x = 0 \):
\(
f'(0) = 4 \cdot 0^3 — 12 \cdot 0^2 + 5 = 5.
\)
Таким образом, уравнение первой касательной:
\(
y = 5x.
\)

3) Найдем вторую касательную при \( x_2 = 3 \):
\(
f(3) = 3^4 — 4 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3 = 81 — 108 + 15 = -12.
\)
Уравнение касательной можно записать в виде:
\(
y — f(3) = f'(3)(x — 3).
\)
Вычислим производную в точке \( x = 3 \):
\(
f'(3) = 4 \cdot 3^3 — 12 \cdot 3^2 + 5 = 108 — 108 + 5 = 5.
\)
Таким образом, уравнение второй касательной:
\(
y = -12 + 5(x — 3).
\)
Упростим:
\(
y = -12 + 5x — 15 = 5x — 27.
\)

Ответ:
\(
y = 5x; \quad y = 5x — 27.
\)