ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.383 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции

\(
f(x) = \sqrt{3x^2 — 8}
\)

которая параллельна прямой

\(
y = 3x + 5.
\)

Даны функция и прямая:
\(
f(x) = \sqrt{3x^2 — 8}, \quad y = 3x + 5;
\)

1) Коэффициент касательной:
\(
f'(x) = \frac{3 \cdot 2x}{2\sqrt{3x^2 — 8}} = 3;
\)
\(
x = \sqrt{3x^2 — 8}, \quad x \geq 0;
\)
\(
3x^2 — 8 = x^2;
\)
\(
2x^2 = 8;
\)
\(
x^2 = 4, \quad x = 2;
\)

2) Уравнение касательной:
\(
f(2) = \sqrt{12 — 8} = \sqrt{4} = 2;
\)
\(
y = 2 + 3(x — 2);
\)
\(
y = 2 + 3x — 6 = 3x — 4;
\)

3) Площадь треугольника:
\(
3a — 4 = 0, \quad a = \frac{4}{3};
\)
\(
b = |y(0)| = |-4| = 4;
\)
\(
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 4}{3} = \frac{8}{3};
\)

Ответ:
\(
\frac{8}{3}.
\)

Даны функция и прямая:
\(
f(x) = \sqrt{3x^2 — 8}, \quad y = 3x + 5;
\)

1) Найдем производную функции \( f(x) \) для определения углового коэффициента касательной:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{3x^2 — 8}) = \frac{3 \cdot 2x}{2\sqrt{3x^2 — 8}}.
\)
Установим равенство производной и углового коэффициента прямой, который равен \( 3 \):
\(
\frac{3 \cdot 2x}{2\sqrt{3x^2 — 8}} = 3.
\)
Умножим обе стороны на \( 2\sqrt{3x^2 — 8} \):
\(
3 \cdot 2x = 6\sqrt{3x^2 — 8}.
\)
Разделим обе стороны на \( 3 \):
\(
2x = 2\sqrt{3x^2 — 8}.
\)
Теперь уберем корень, возведя обе стороны в квадрат:
\(
(2x)^2 = (2\sqrt{3x^2 — 8})^2.
\)
Это даёт:
\(
4x^2 = 4(3x^2 — 8).
\)
Упростим уравнение:
\(
4x^2 = 12x^2 — 32.
\)
Переносим все члены в одну сторону:
\(
0 = 12x^2 — 4x^2 — 32,
\)
что приводит к:
\(
0 = 8x^2 — 32.
\)
Решим это уравнение:
\(
8x^2 = 32,
\)
\(
x^2 = 4, \quad x = 2.
\)

2) Теперь найдем уравнение касательной. Сначала вычислим значение функции в точке \( x = 2 \):
\(
f(2) = \sqrt{3(2^2) — 8} = \sqrt{12 — 8} = \sqrt{4} = 2.
\)
Уравнение касательной можно записать в виде:
\(
y — f(2) = f'(2)(x — 2).
\)
Вычислим производную в точке \( x = 2 \):
\(
f'(2) = 3.
\)
Таким образом, уравнение касательной:
\(
y — 2 = 3(x — 2).
\)
Раскроем скобки:
\(
y — 2 = 3x — 6,
\)
что приводит к:
\(
y = 3x — 4.
\)

3) Найдем площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Для этого найдем координаты пересечения касательной с осями.

Сначала найдем пересечение с осью \( x \):
\(
3a — 4 = 0, \quad a = \frac{4}{3}.
\)

Теперь найдем пересечение с осью \( y \):
\(
b = |y(0)| = |-4| = 4.
\)

Площадь треугольника \( S \) вычисляется по формуле:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.
\)
Подставим найденные значения:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{3} = \frac{8}{3}.
\)

Ответ:
\(
\frac{8}{3}.
\)