ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.388 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функция

\(
f(x) = -2x^3 + 2x^2 — 10x + 80
\)

убывает на

\(
\mathbb{R}.
\)

Доказать, что функция убывает на \(\mathbb{R}\):

\(
f(x) = -2x^3 + 2x^2 — 10x + 80;
\)

\(
f'(x) = -2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x — 10 \leq 0;
\)

\(
6x^2 — 4x + 10 \geq 0;
\)

\(
3x^2 — 2x + 5 \geq 0;
\)

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 — 60 = -56;
\)

\(
D < 0 \text{ и } a > 0, \text{ значит } x \in \mathbb{R};
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать, что функция убывает на \(\mathbb{R}\):

\(
f(x) = -2x^3 + 2x^2 — 10x + 80.
\)

Для этого найдем производную функции \(f(x)\):

\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 2x^2 — 10x + 80).
\)

Вычисляем производную:

\(
f'(x) = -2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x — 10 = -6x^2 + 4x — 10.
\)

Теперь упростим уравнение:

\(
f'(x) = -6x^2 + 4x — 10 \leq 0.
\)

Чтобы определить, когда производная меньше или равна нулю, найдем корни уравнения:

\(
-6x^2 + 4x — 10 = 0.
\)

Умножим все члены на \(-1\) для упрощения:

\(
6x^2 — 4x + 10 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 10 = 16 — 240 = -224.
\)

Так как дискриминант отрицательный:

\(
D < 0,
\)

это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при \(x^2\) (то есть \(a = 6\)) положителен, функция \(6x^2 — 4x + 10\) всегда положительна:

\(
6x^2 — 4x + 10 > 0 \quad \text{для всех} \quad x \in \mathbb{R}.
\)

Таким образом,

\(
f'(x) < 0 \quad \text{для всех} \quad x \in \mathbb{R},
\)

что означает, что функция \(f(x)\) убывает на всей области определения.

Что и требовалось доказать.