ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.389 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функция

\(
f(x) = \cos(3x) + 4x
\)

возрастает на

\(
\mathbb{R}.
\)

Доказать, что функция возрастает на \(\mathbb{R}\):

\(
f(x) = \cos 3x + 4x;
\)

\(
f'(x) = -3 \sin 3x + 4 \geq 0;
\)

\(
-1 \leq \sin 3x \leq 1;
\)

\(
-3 \leq -3 \sin 3x \leq 3;
\)

\(
1 \leq -3 \sin 3x + 4 \leq 7;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать, что функция возрастает на \(\mathbb{R}\):

\(
f(x) = \cos(3x) + 4x.
\)

Для этого найдем производную функции \(f(x)\):

\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(3x) + 4x).
\)

Вычисляем производную:

\(
f'(x) = -3 \sin(3x) + 4.
\)

Чтобы функция \(f(x)\) возрастала, необходимо, чтобы производная \(f'(x)\) была неотрицательной:

\(
f'(x) \geq 0.
\)

Это означает:

\(
-3 \sin(3x) + 4 \geq 0.
\)

Перепишем неравенство:

\(
-3 \sin(3x) \geq -4.
\)

Умножив обе стороны на \(-1\) и изменив знак неравенства, получаем:

\(
3 \sin(3x) \leq 4.
\)

Теперь рассмотрим диапазон значений функции \(\sin(3x)\). Мы знаем, что:

\(
-1 \leq \sin(3x) \leq 1.
\)

Умножив все части этого неравенства на \(3\), получаем:

\(
-3 \leq 3 \sin(3x) \leq 3.
\)

Теперь добавим \(4\) к каждому члену неравенства:

\(
1 \leq 3 \sin(3x) + 4 \leq 7.
\)

Таким образом, мы можем записать итоговое неравенство:

\(
1 \leq -3 \sin(3x) + 4 \leq 7.
\)

Это неравенство показывает, что производная \(f'(x)\) всегда больше или равна нулю на всей области определения. Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на \(\mathbb{R}\).

Что и требовалось доказать.