ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.390 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для всех \(x \in D(f)\) выполняется неравенство

\(
f(x) > f(x_0).
\)

1) Верно ли утверждение, что \(x_0\) — точка минимума функции \(f\)?

2) Изменится ли ответ, если \(D(f) = \mathbb{R}\)?

Для всех \(x \in D(f)\) верно:
\(
f(x) \geq f(x_0);
\)

1) Точка с абсциссой \(x_0\) может быть крайней точкой графика (например \(x_0 = 0\) в \(y = \sqrt{x}\));
Ответ: нет.

2) Если \(D(f) = \mathbb{R}\), то график функции \(y = f(x)\) не имеет крайних точек, то есть выполняется неравенство
\(
f(x_0 \pm \Delta x) \geq f(x_0) \quad \text{при} \quad \Delta x \to 0;
\)
Ответ: да.

Для всех \(x \in D(f)\) верно:
\(
f(x) \geq f(x_0).
\)

1) Рассмотрим первую часть вопроса. Если для всех \(x \in D(f)\) выполняется неравенство \(f(x) \geq f(x_0)\), это означает, что значение функции в точке \(x_0\) не меньше, чем в любой другой точке области определения функции. Таким образом, \(x_0\) является точкой минимума функции \(f\). Однако, стоит отметить, что точка \(x_0\) может быть крайней точкой графика. Например, в случае функции \(y = \sqrt{x}\), точка \(x_0 = 0\) является минимальной, но также и крайней точкой. Поэтому ответ на этот вопрос: нет, не всегда \(x_0\) является точкой минимума в строгом смысле.

Ответ: нет.

2) Рассмотрим вторую часть вопроса. Если \(D(f) = \mathbb{R}\), то график функции \(y = f(x)\) не имеет крайних точек, что означает, что функция определена для всех значений \(x\). В этом случае, если выполняется неравенство

\(
f(x_0 \pm \Delta x) \geq f(x_0) \quad \text{при} \quad \Delta x \to 0,
\)

это указывает на то, что функция не только достигает минимума в точке \(x_0\), но и остается не меньше этого значения при малых изменениях \(x\). Таким образом, в этом случае можно утверждать, что \(x_0\) является точкой минимума.

Ответ: да.