ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.391 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) \( f(x) = -8x^3 — x^2 + 2x \);
2) \( f(x) = x^3 + 2x — 10 \);
3) \( f(x) = x^5 — 5x^4 + 2 \);
4) \( f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x} \);
5) \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2} \);
6) \( f(x) = \frac{5 — 2x}{x^2 — 4} \);
7) \( f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8} \);
8) \( f(x) = (1 — x)e^{-x} \);
9) \( f(x) = \frac{x}{e} — e^x \);
10) \( f(x) = x^2 — 8\ln x \);
11) \( f(x) = \sqrt{x}(\ln x — 4) \);
12) \( f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}}. \)

1)
\(
f(x) = -8x^3 — x^2 + 2x;
\)
\(
f'(x) = -8 \cdot 3x^2 — 2x + 2 \geq 0;
\)
\(
12x^2 + x — 1 \leq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 12} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{1}{4};
\)
\(
\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x — \frac{1}{4}\right) \leq 0;
\)
\(
-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{4};
\)

Ответ: возрастает на \(\left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{4}\right]\);
убывает на \((-\infty; -\frac{1}{3}] \cup \left[\frac{1}{4}; +\infty\right);\)
\(
x_{\max} = \frac{1}{4}, \quad x_{\min} = -\frac{1}{3}.
\)

2)
\(
f(x) = x^3 + 2x — 10;
\)
\(
f'(x) = 3x^2 + 2 \geq 0;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)

Ответ: возрастает на \(\mathbb{R}\).

3)
\(
f(x) = x^5 — 5x^4 + 2;
\)
\(
f'(x) = 5x^4 — 5 \cdot 4x^3 \geq 0;
\)
\(
5x^3 \cdot (x — 4) \geq 0;
\)
\(
x \leq 0, \quad x \geq 4;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; 0]\) и \([4; +\infty)\);
убывает на \([0; 4];\)
\(
x_{\max} = 0, \quad x_{\min} = 4.
\)

4)
\(
f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x};
\)
\(
f'(x) = \frac{1}{4} — \frac{4}{x^2} \geq 0;
\)
\(
\frac{x^2 — 16}{4x^2} \geq 0;
\)
\(
\frac{(x + 4)(x — 4)}{x^2} \geq 0;
\)
\(
x \leq -4, \quad x \neq 0, \quad x \geq 4;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -4] \cup [4; +\infty)\);
убывает на \([-4; 0) \cup (0; 4]\);
\(
x_{\max} = -4, \quad x_{\min} = 4.
\)

5)
\(
f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2};
\)
\(
f'(x) = 2x — \frac{2}{x^3} \geq 0;
\)
\(
\frac{2x^4 — 2}{x^3} \geq 0;
\)
\(
\frac{2(x^2 + 1)(x^2 — 1)}{x} \geq 0;
\)
\(
\frac{(x + 1)(x — 1)}{x} \geq 0;
\)
\(
-1 \leq x < 0, \quad x \geq 1;
\)

Ответ: возрастает на \([-1; 0) \cup [1; +\infty)\);
убывает на \((-\infty; -1] \cup (0; 1]\);
\(
x_{\min} = -1, \quad x_{\min} = 1.
\)

6)
\(
f(x) = \frac{5 — 2x}{x^2 — 4};
\)
\(
f'(x) = \frac{(5 — 2x)’ \cdot (x^2 — 4) — (5 — 2x) \cdot (x^2 — 4)’}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
\(
\frac{-2(x^2 — 4) — (5 — 2x) \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
\(
\frac{-2x^2 + 8 — 10x + 4x^2}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)

\(
\frac{2(x^2 — 5x + 4)}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)
\(
\frac{(x — 1)(x — 4)}{(x + 2)^2 (x — 2)^2} \geq 0;
\)
\(
x \leq 1, \quad x \geq 4, \quad x \neq \pm 2;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -2) \cup (-2; 1] \cup [4; +\infty)\);
убывает на \([1; 2) \cup (2; 4]\);
\(
x_{\max} = 1, \quad x_{\min} = 4.
\)

7)
\(
f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8};
\)
\(
f'(x) = \frac{3x^2 (x^3 + 8) — x^3 \cdot 3x^2}{(x^3 + 8)^2} \geq 0;
\)
\(
\frac{3x^5 + 24x^2 — 3x^5}{(x + 2)^2} \geq 0;
\)
\(
\frac{24x^2}{(x + 2)^2} \geq 0;
\)
\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq -2;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).

8)
\(
f(x) = (1 — x) e^{-x};
\)
\(
f'(x) = -1 \cdot e^{-x} + (1 — x) \cdot (-e^{-x}) \geq 0;
\)
\(
-e^{-x} — e^{-x} + x e^{-x} \geq 0;
\)
\(
e^{-x} \cdot (x — 2) \geq 0;
\)
\(
x \geq 2;
\)

Ответ: возрастает на \([2; +\infty)\);
убывает на \((-\infty; 2]\);
\(
x_{\min} = 2.
\)

9)
\(
f(x) = \frac{x}{e} — e^x;
\)
\(
f'(x) = \frac{1}{e} — e^x \geq 0;
\)
\(
\frac{1 — e^{x+1}}{e} \geq 0;
\)
\(
e^{x+1} \leq 1;
\)
\(
x + 1 \leq 0;
\)
\(
x \leq -1;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -1]\);
убывает на \([-1; +\infty)\);
\(
x_{\max} = -1.
\)

10)
\(
f(x) = x^2 — 8 \ln x;
\)
\(
f'(x) = 2x — \frac{8}{x} \geq 0;
\)
\(
\frac{2x^2 — 8}{x} \geq 0, \quad x > 0;
\)
\(
2(x + 2)(x — 2) \geq 0;
\)

Ответ: возрастает на \([2; +\infty)\);
убывает на \((0; 2]\);
\(
x_{\min} = 2.
\)

11)
\(
f(x) = \sqrt{x} (\ln x — 4);
\)
\(
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\ln x — 4) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \geq 0;
\)
\(
\frac{\ln x — 4 + 2}{2\sqrt{x}} \geq 0, \quad x > 0;
\)
\(
\ln x — 2 \geq 0;
\)
\(
\ln x \geq 2;
\)
\(
x \geq e^2;
\)

Ответ: возрастает на \([e^2; +\infty)\);
убывает на \((0; e^2]\);
\(
x_{\min} = e^2.
\)

12)
\(
f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}};
\)
\(
f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} — (\ln x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} \geq 0;
\)
\(
\frac{2 — \ln x — 2}{2\sqrt{x} \cdot x} \geq 0, \quad x > 0;
\)
\(
-\ln x \geq 0;
\)
\(
\ln x \leq 0;
\)
\(
0 < x \leq 1;
\)

Ответ: возрастает на \((0; 1]\);
убывает на \([1; +\infty)\);
\(
x_{\max} = 1.
\)

1)
\(
f(x) = -8x^3 — x^2 + 2x;
\)
Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции:
\(
f'(x) = -8 \cdot 3x^2 — 2x + 2 \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = -24x^2 — 2x + 2 \geq 0;
\)
Теперь преобразуем неравенство:
\(
12x^2 + x — 1 \leq 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49,
\)
Тогда корни будут:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 12} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{1}{4};
\)
Запишем неравенство в факторизованном виде:
\(
\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x — \frac{1}{4}\right) \leq 0;
\)
Решение неравенства:
\(
-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{4};
\)

Ответ: возрастает на \(\left[-\frac{1}{3}; \frac{1}{4}\right]\);
убывает на \((-\infty; -\frac{1}{3}] \cup \left[\frac{1}{4}; +\infty\right);\)
\(
x_{\max} = \frac{1}{4}, \quad x_{\min} = -\frac{1}{3}.
\)

2)
\(
f(x) = x^3 + 2x — 10;
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = 3x^2 + 2 \geq 0;
\)
Так как \(3x^2 + 2 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), то:
\(
x \in \mathbb{R};
\)

Ответ: возрастает на \(\mathbb{R}\).

3)
\(
f(x) = x^5 — 5x^4 + 2;
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = 5x^4 — 5 \cdot 4x^3 \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = 5x^3(x — 4) \geq 0;
\)
Решаем неравенство:
\(
5x^3 \geq 0 \quad \text{и} \quad (x — 4) \geq 0;
\)
Это дает:
\(
x \leq 0, \quad x \geq 4;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; 0]\) и \([4; +\infty)\);
убывает на \([0; 4];\)
\(
x_{\max} = 0, \quad x_{\min} = 4.
\)

4)
\(
f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x};
\)
Найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{1}{4} — \frac{4}{x^2} \geq 0;
\)
Приведём неравенство к общему виду:
\(
\frac{x^2 — 16}{4x^2} \geq 0;
\)
Разложим на множители:
\(
\frac{(x + 4)(x — 4)}{x^2} \geq 0;
\)
Решение неравенства даёт:
\(
x \leq -4, \quad x \neq 0, \quad x \geq 4;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -4] \cup [4; +\infty)\);
убывает на \([-4; 0) \cup (0; 4]\);
\(
x_{\max} = -4, \quad x_{\min} = 4.
\)

5)
\(
f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2};
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = 2x — \frac{2}{x^3} \geq 0;
\)
Приведём неравенство к общему виду:
\(
\frac{2x^4 — 2}{x^3} \geq 0;
\)
Разложим на множители:
\(
\frac{2(x^2 + 1)(x^2 — 1)}{x} \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
\frac{(x + 1)(x — 1)}{x} \geq 0;
\)
Решение неравенства даёт:
\(
-1 \leq x < 0, \quad x \geq 1;
\)

Ответ: возрастает на \([-1; 0) \cup [1; +\infty)\);
убывает на \((- \infty; -1] \cup (0; 1]\);
\(
x_{\min} = -1, \quad x_{\min} = 1.
\)

6)
\(
f(x) = \frac{5 — 2x}{x^2 — 4};
\)
Находим производную функции по правилу Лейбница:
\(
f'(x) = \frac{(5 — 2x)’ \cdot (x^2 — 4) — (5 — 2x) \cdot (x^2 — 4)’}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
Упрощаем производную:
\(
f'(x) = \frac{-2(x^2 — 4) — (5 — 2x) \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
Далее упрощаем:
\(
f'(x) = \frac{-2x^2 + 8 — 10x + 4x^2}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)

Теперь у нас есть:
\(
f'(x) = \frac{2(x^2 — 5x + 4)}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)
Тогда корни будут:
\(
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)
Записываем неравенство в разложенном виде:
\(
\frac{(x — 1)(x — 4)}{(x + 2)^2 (x — 2)^2} \geq 0;
\)
Решение неравенства даёт:
\(
x \leq 1, \quad x \geq 4, \quad x \neq \pm 2;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -2) \cup (-2; 1] \cup [4; +\infty)\);
убывает на \([1; 2) \cup (2; 4]\);
\(
x_{\max} = 1, \quad x_{\min} = 4.
\)

7)
\(
f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8};
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{3x^2 (x^3 + 8) — x^3 \cdot 3x^2}{(x^3 + 8)^2} \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = \frac{3x^5 + 24x^2 — 3x^5}{(x + 2)^2} \geq 0;
\)
Таким образом, получаем:
\(
\frac{24x^2}{(x + 2)^2} \geq 0;
\)
Решение этого неравенства даёт:
\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq -2;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).

8)
\(
f(x) = (1 — x) e^{-x};
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = -1 \cdot e^{-x} + (1 — x) \cdot (-e^{-x}) \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = -e^{-x} — e^{-x} + x e^{-x} \geq 0;
\)
Факторизуем:
\(
e^{-x} \cdot (x — 2) \geq 0;
\)
Решение этого неравенства даёт:
\(
x \geq 2;
\)

Ответ: возрастает на \([2; +\infty)\);
убывает на \((-\infty; 2]\);
\(
x_{\min} = 2.
\)

9)
\(
f(x) = \frac{x}{e} — e^x;
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{1}{e} — e^x \geq 0;
\)
Упрощаем неравенство:
\(
\frac{1 — e^{x+1}}{e} \geq 0;
\)
Решаем неравенство:
\(
e^{x+1} \leq 1;
\)
Это приводит к:
\(
x + 1 \leq 0;
\)
Таким образом, получаем:
\(
x \leq -1;
\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -1]\);
убывает на \([-1; +\infty)\);
\(
x_{\max} = -1.
\)

10)
\(
f(x) = x^2 — 8 \ln x;
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = 2x — \frac{8}{x} \geq 0;
\)
Приводим неравенство к общему виду:
\(
\frac{2x^2 — 8}{x} \geq 0, \quad x > 0;
\)
Факторизуем:
\(
2(x + 2)(x — 2) \geq 0;
\)

Решение неравенства:
Ответ: возрастает на \([2; +\infty)\);
убывает на \((0; 2]\);
\(
x_{\min} = 2.
\)

11)
\(
f(x) = \sqrt{x} (\ln x — 4);
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\ln x — 4) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
\frac{\ln x — 4 + 2}{2\sqrt{x}} \geq 0, \quad x > 0;
\)
Решение неравенства:
\(
\ln x — 2 \geq 0;
\)
Это приводит к:
\(
\ln x \geq 2;
\)
Следовательно:
\(
x \geq e^2;
\)

Ответ: возрастает на \([e^2; +\infty)\);
убывает на \((0; e^2]\);
\(
x_{\min} = e^2.
\)

12)
\(
f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}};
\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} — (\ln x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
\frac{2 — \ln x — 2}{2\sqrt{x} \cdot x} \geq 0, \quad x > 0;
\)
Это приводит к:
\(
-\ln x \geq 0;
\)
Следовательно:
\(
\ln x \leq 0;
\)
Таким образом, получаем:
\(
0 < x \leq 1;
\)

Ответ: возрастает на \((0; 1]\);
убывает на \([1; +\infty)\);
\(
x_{\max} = 1.
\)