ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.393 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1)
\(
f(x) = x^3 — 3x^2 — 9x — 4 \text{ на промежутке } [-2; 0];
\)

2)
\(
f(x) = \frac{x — 1}{x + 1} \text{ на промежутке } [0; 4];
\)

3)
\(
f(x) = \sin(4x — \frac{\pi}{3}) \text{ на промежутке } [0; \frac{\pi}{6}];
\)

4)
\(
f(x) = \cos(x) — \sin(x) \text{ на промежутке } [0; 2\pi];
\)

5)
\(
f(x) = \sqrt{8x — x^2} \text{ на её области определения};
\)

6)
\(
f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \text{ на промежутке } [-2; \frac{1}{2}].
\)

1)
\(
f(x) = x^3 — 3x^2 — 9x — 4, \quad x \in [-2; 0];
\)
\(
f'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x — 9 = 0;
\)
\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
Значения функции:
\(
f(-2) = -8 — 12 + 18 — 4 = -6;
\)
\(
f(-1) = -1 — 3 + 9 — 4 = 1;
\)
\(
f(0) = 0 — 0 — 0 — 4 = -4;
\)

Ответ: \(-6; 1\).

2)
\(
f(x) = \frac{x — 1}{x + 1}, \quad x \in [0; 4];
\)
\(
f'(x) = \frac{1 \cdot (x + 1) — (x — 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = 0;
\)
\(
x + 1 — x + 1 = 0, \quad x + 1 \neq 0;
\)
\(
2 = 0, \quad x \neq -1;
\)
Значения функции:
\(
f(0) = \frac{0 — 1}{0 + 1} = -1;
\)
\(
f(4) = \frac{4 — 1}{4 + 1} = \frac{3}{5};
\)

Ответ: \(-1; \frac{3}{5}\).

3)
\(
f(x) = \sin \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right), \quad x \in [0; \frac{\pi}{6}];
\)
\(
f'(x) = 4 \cos \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right) = 0;
\)
\(
4x — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
4x = \frac{5\pi}{6} + \pi n;
\)
\(
x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4};
\)

Значения функции:
\(
f(0) = \sin \left( 0 — \frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = — \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
\(
f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \left( \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};
\)

Ответ: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\).

4)
\(
f(x) = \cos x — \sin x, \quad x \in [0; 2\pi];
\)
\(
f'(x) = -\sin x — \cos x = 0;
\)
\(
-\tan x — 1 = 0;
\)
\(
\tan x = -1;
\)
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

Значения функции:
\(
f(0) = \cos 0 — \sin 0 = 1 — 0 = 1;
\)
\(
f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos \frac{3\pi}{4} — \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2};
\)
\(
f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos \frac{7\pi}{4} — \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2};
\)
\(
f(2\pi) = \cos 2\pi — \sin 2\pi = 1 — 0 = 1;
\)

Ответ: \(-\sqrt{2}; \sqrt{2}\).

5)
\(
f(x) = \sqrt{8x — x^2}, \quad x \in D(f);
\)
\(
f'(x) = \frac{8 — 2x}{2 \sqrt{8x — x^2}} = 0;
\)
\(
8 — 2x = 0, \quad 8x — x^2 > 0;
\)
\(
2x = 8, \quad x(x — 8) < 0;
\)
\(
x = 4, \quad 0 < x < 8;
\)

Значения функции:
\(
f(0) = \sqrt{0 — 0} = \sqrt{0} = 0;
\)
\(
f(4) = \sqrt{32 — 16} = \sqrt{16} = 4;
\)
\(
f(8) = \sqrt{64 — 64} = \sqrt{0} = 0;
\)

Ответ: \(0; 4\).

6)
\(
f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, \quad x \in [-2; \frac{1}{2}];
\)
\(
f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) — 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = 0;
\)
\(
2x^2 + 2 — 4x^2 = 0;
\)
\(
2x^2 — 2 = 0;
\)
\(
2x^2 = 2;
\)
\(
x^2 = 1;
\)
\(
x = \pm 1;
\)

Значения функции:
\(
f(-2) = \frac{-4}{4 + 1} = \frac{-4}{5};
\)
\(
f(-1) = \frac{-2}{1 + 1} = -1;
\)
\(
f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{4}{5}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5};
\)

Ответ: \(-1; \frac{4}{5}\).

1)
\(
f(x) = x^3 — 3x^2 — 9x — 4, \quad x \in [-2; 0]
\)
Найдём производную:
\(
f'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x — 9 = 3x^2 — 6x — 9
\)
Приравняем производную к нулю:
\(
3x^2 — 6x — 9 = 0
\)
Разделим на 3:
\(
x^2 — 2x — 3 = 0
\)
Найдём дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)
Найдём корни:
\(
x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1
\)
\(
x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3
\)
Так как область определения \((-2; 0)\), то корень \(x_2 = 3\) не входит в область, учитываем только \(x_1 = -1\).

Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка:
\(
f(-2) = (-2)^3 — 3(-2)^2 — 9(-2) — 4 = -8 — 12 + 18 — 4 = -6
\)
\(
f(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 — 9(-1) — 4 = -1 — 3 + 9 — 4 = 1
\)
\(
f(0) = 0 — 0 — 0 — 4 = -4
\)

Ответ: \( -6; 1 \).

2)
\(
f(x) = \frac{x — 1}{x + 1}, \quad x \in [0; 4]
\)
Найдём производную по формуле частного:
\(
f'(x) = \frac{(1)(x + 1) — (x — 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 — x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}
\)
Приравниваем к нулю:
\(
\frac{2}{(x + 1)^2} = 0
\)
Это невозможно, так как числитель 2 не равен нулю. Значит, производная не равна нулю ни при каком \(x\).

Вычислим значения функции на концах промежутка:
\(
f(0) = \frac{0 — 1}{0 + 1} = -1
\)
\(
f(4) = \frac{4 — 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}
\)

Ответ: \( -1; \frac{3}{5} \).

3)
\(
f(x) = \sin \left(4x — \frac{\pi}{3}\right), \quad x \in [0; \frac{\pi}{6}]
\)
Найдём производную:
\(
f'(x) = 4 \cos \left(4x — \frac{\pi}{3}\right)
\)
Приравняем к нулю:
\(
4 \cos \left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = 0 — \cos \left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = 0
\)
Решаем уравнение:
\(
4x — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)
Отсюда:
\(
4x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n
\)
\(
x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}
\)
Проверим, какие значения \(x\) лежат в промежутке \((0; \frac{\pi}{6})\). При \(n=0\):
\(
x = \frac{5\pi}{24} \approx 0.6545 > \frac{\pi}{6} \approx 0.5236
\)
Нет решений внутри интервала.

Вычислим значения функции на концах:
\(
f(0) = \sin \left(0 — \frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\)
\(
f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\)

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \).

4)
\(
f(x) = \cos x — \sin x, \quad x \in [0; 2\pi]
\)
Найдём производную:
\(
f'(x) = -\sin x — \cos x
\)
Приравняем к нулю:
\(
-\sin x — \cos x = 0 — \sin x + \cos x = 0
\)
Выразим через тангенс:
\(
\sin x = -\cos x — \tan x = -1
\)
Общее решение:
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)
Найдём значения \(x\) из этого множества, лежащие в интервале \((0; 2\pi)\):
При \(n=1\):
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}
\)
При \(n=2\):
\(
x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}
\)

Вычислим значения функции в критических точках и на концах:
\(
f(0) = \cos 0 — \sin 0 = 1 — 0 = 1
\)
\(
f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos \frac{3\pi}{4} — \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}
\)
\(
f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos \frac{7\pi}{4} — \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
\)
\(
f(2\pi) = \cos 2\pi — \sin 2\pi = 1 — 0 = 1
\)

Ответ: \( -\sqrt{2}; \sqrt{2} \).

5)
\(
f(x) = \sqrt{8x — x^2}, \quad x \in D(f)
\)
Найдём производную:
\(
f'(x) = \frac{8 — 2x}{2 \sqrt{8x — x^2}}
\)
Приравняем к нулю числитель:
\(
8 — 2x = 0 — 2x = 8 — x = 4
\)
Область определения подкоренного выражения:
\(
8x — x^2 > 0 — x(8 — x) > 0 — 0 < x < 8
\)
Точка \(x=4\) лежит в области определения.

Вычислим значения функции на концах и в критической точке:
\(
f(0) = \sqrt{0} = 0
\)
\(
f(4) = \sqrt{32 — 16} = \sqrt{16} = 4
\)
\(
f(8) = \sqrt{64 — 64} = 0
\)

Ответ: \(0; 4\).

6)
\(
f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, \quad x \in [-2; \frac{1}{2}]
\)
Найдём производную по формуле частного:
\(
f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) — 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 — 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2}
\)
Приравняем числитель к нулю:
\(
-2x^2 + 2 = 0 — 2x^2 = 2 — x^2 = 1 — x = \pm 1
\)
Проверим, какие из них лежат в области определения: \(-2 < x < \frac{1}{2}\), значит \(x = -1\) подходит, \(x = 1\) — нет.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах:
\(
f(-2) = \frac{2 \cdot (-2)}{(-2)^2 + 1} = \frac{-4}{4 + 1} = \frac{-4}{5}
\)
\(
f(-1) = \frac{2 \cdot (-1)}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1
\)
\(
f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}
\)

Ответ: \( -1; \frac{4}{5} \).