ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.394 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Представьте число 15 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы произведение квадрата первого из них на второе было наибольшим.

Пусть \( x \) и \( y \) — данные числа, тогда:
\( x + y = 15, \quad y = 15 — x, \quad x,y > 0; \)

1) Искомое выражение:
\( f(x) = x^2 \cdot y = x^2 (15 — x); \)

2) Промежуток возрастания:
\( f'(x) = 2x(15 — x) + x^2 \cdot (-1) \geq 0; \)
\( 30x — 2x^2 — x^2 \geq 0; \)
\( 3x^2 — 30x \leq 0; \)
\( 3x(x — 10) \leq 0; \)
\( 0 \leq x \leq 10; \)

3) Точка максимума:
\( x = 10, \quad y = 15 — 10 = 5; \)

Ответ:
\( 15 = 10 + 5 \)

Пусть \( x \) и \( y \) — данные числа, тогда:
\( x + y = 15, \quad y = 15 — x, \quad x,y > 0; \)

1) Искомое выражение:
\( f(x) = x^2 \cdot y = x^2 (15 — x); \)
Здесь мы выразили \( y \) через \( x \) с использованием первого уравнения. Подставив это выражение в функцию \( f(x) \), мы получаем функцию, зависящую только от \( x \).

2) Промежуток возрастания:
Для нахождения промежутка возрастания функции \( f(x) \), необходимо вычислить её производную \( f'(x) \) и найти, для каких значений \( x \) она неотрицательна.

Вычисляем производную:
\( f'(x) = 2x(15 — x) + x^2 \cdot (-1) \geq 0; \)
Упрощаем:
\( f'(x) = 30x — 2x^2 — x^2 \geq 0; \)
\( f'(x) = 30x — 3x^2 \geq 0; \)
Теперь можно вынести общий множитель:
\( 3x(10 — x) \leq 0; \)
Анализируем неравенство \( 3x(10 — x) \leq 0; \). Это произведение меньше или равно нулю, когда один из множителей равен нулю или они имеют разные знаки. Таким образом, получаем:
\( 0 \leq x \leq 10; \)

3) Точка максимума:
Для нахождения точки максимума функции \( f(x) \), подставляем значение \( x = 10 \):
\( y = 15 — 10 = 5; \)
Таким образом, точка максимума находится в \( (10, 5) \).

Ответ:
\( 15 = 10 + 5 \)