ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.395 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Представьте число 20 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Пусть \( x \) и \( y \) — данные числа, тогда:
\( x + y = 20, \quad y = 20 — x, \quad x, y > 0; \)

1) Искомое выражение:
\( f(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (20 — x)^3; \)

2) Промежуток возрастания:
\( f'(x) = 3x^2 — 3(20 — x)^2 \geq 0; \)
\( 3(20 — x)^2 \leq 3x^2; \)
\( (20 — x)^2 \leq x^2; \)
\( 20 — x \leq x; \)
\( 2x \geq 20; \)
\( x \geq 10; \)

3) Точка минимума:
\( x = 10, \quad y = 20 — 10 = 10; \)

Ответ:
\( 20 = 10 + 10. \)

Пусть \( x \) и \( y \) — данные числа, тогда:
\( x + y = 20, \quad y = 20 — x, \quad x, y > 0; \)

1) Искомое выражение:
\( f(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (20 — x)^3; \)
Здесь мы выразили \( y \) через \( x \) с использованием первого уравнения. Подставив это выражение в функцию \( f(x) \), мы получаем функцию, зависящую только от \( x \).

2) Промежуток возрастания:
Для нахождения промежутка возрастания функции \( f(x) \), необходимо вычислить её производную \( f'(x) \) и найти, для каких значений \( x \) она неотрицательна.

Вычисляем производную:
\( f'(x) = 3x^2 — 3(20 — x)^2 \geq 0; \)
Упрощаем неравенство:
\( 3(20 — x)^2 \leq 3x^2; \)
Делим обе стороны на 3 (так как 3 положительно):
\( (20 — x)^2 \leq x^2; \)
Теперь раскроем скобки:
\( 20^2 — 2 \cdot 20 \cdot x + x^2 \leq x^2; \)
Сокращаем \( x^2 \):
\( 400 — 40x \leq 0; \)
Переносим все члены в одну сторону:
\( 40x \geq 400; \)
Делим обе стороны на 40:
\( x \geq 10; \)

Таким образом, функция возрастает при \( x \geq 10 \).

3) Точка минимума:
Находим точку минимума. Подставляем найденное значение \( x = 10 \):
\( y = 20 — 10 = 10; \)

Ответ:
\( 20 = 10 + 10. \)