ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.397 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см?

Пусть \( x \) и \( y \) — данные числа, тогда:
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = 50 \text{ см}, \quad x, y > 0;
\)

1) Из данного равенства:
\(
x^2 + y^2 = 2500;
\quad y^2 = 2500 — x^2;
\quad y = \sqrt{2500 — x^2};
\)

2) Искомое выражение:
\(
f(x) = xy = x \sqrt{2500 — x^2};
\)

3) Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2500 — x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2 \sqrt{2500 — x^2}} \geq 0;
\)

\(
\frac{2(2500 — x^2) — 2x^2}{2 \sqrt{2500 — x^2}} \geq 0;
\)

\(
5000 — 2x^2 — 2x^2 \geq 0;
\)

\(
4x^2 — 5000 \leq 0;
\)

\(
x^2 — 1250 \leq 0;
\)

\(
(x + \sqrt{1250})(x — \sqrt{1250}) \leq 0;
\)

\(
-\sqrt{1250} \leq x \leq \sqrt{1250};
\)

4) Точка максимума:
\(
x = \sqrt{1250}, \quad f(x) = \sqrt{1250} \cdot \sqrt{1250} = 1250;
\)

Ответ: 1250 см².

Пусть \( x \) и \( y \) — данные числа, тогда:
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = 50 \text{ см}, \quad x, y > 0;
\)

1) Из данного равенства:
Сначала возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
\(
x^2 + y^2 = 2500;
\)
Теперь выразим \( y^2 \) через \( x^2 \):
\(
y^2 = 2500 — x^2;
\)
И затем найдем \( y \):
\(
y = \sqrt{2500 — x^2};
\)

2) Искомое выражение:
Теперь мы можем записать произведение \( xy \) в виде функции от \( x \):
\(
f(x) = xy = x \sqrt{2500 — x^2};
\)

3) Промежуток возрастания:
Для нахождения промежутка возрастания функции \( f(x) \), необходимо вычислить её производную \( f'(x) \):
\(
f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2500 — x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2 \sqrt{2500 — x^2}} \geq 0;
\)
Упрощаем производную:
\(
f'(x) = \sqrt{2500 — x^2} — \frac{x^2}{\sqrt{2500 — x^2}} \geq 0;
\)
Объединим дроби:
\(
f'(x) = \frac{2(2500 — x^2) — 2x^2}{2 \sqrt{2500 — x^2}} \geq 0;
\)
Упрощаем числитель:
\(
5000 — 4x^2 \geq 0;
\)
Переносим все члены в одну сторону:
\(
4x^2 \leq 5000;
\)
Делим обе стороны на 4:
\(
x^2 \leq 1250;
\)
Теперь можем записать это неравенство в виде произведения:
\(
(x + \sqrt{1250})(x — \sqrt{1250}) \leq 0;
\)
Анализируем неравенство. Оно выполняется, когда один из множителей равен нулю или они имеют разные знаки, что даёт нам интервал:
\(
-\sqrt{1250} \leq x \leq \sqrt{1250};
\)

4) Точка максимума:
Теперь найдем точку максимума функции. Мы видим, что максимальное значение \( x \) в пределах нашего интервала будет \( x = \sqrt{1250} \). Подставляем это значение в функцию \( f(x) \):
\(
f(x) = \sqrt{1250} \cdot \sqrt{1250} = 1250;
\)

Ответ: 1250 см².