ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.398 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте её график:

1) \( f(x) = x^3 — 9x \)
2) \( f(x) = x^4 — 2x^2 — 3 \)
3) \( f(x) = 6x^2 — 2x^3 \)
4) \( f(x) = (x^2 — 2)^2 \)
5) \( f(x) = 4 + x^2 — \frac{1}{4} x^4 \)
6) \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 — 4} \)
7) \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2} \)
8) \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2} \)

1) \( f(x) = x^3 — 9x; \)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 3x^2 — 9 \geq 0;
\quad x^2 — 3 \geq 0;
\quad (x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) \geq 0;
\)
\(
\quad x \leq -\sqrt{3}, \quad x \geq \sqrt{3};
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\min} = \sqrt{3}, \quad y(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} — 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3};
\)
\(
x_{\max} = -\sqrt{3}, \quad y(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3};
\)

Функция нечётная:
\(
f(-x) = (-x)^3 — 9(-x);
\quad f(-x) = -x^3 + 9x = -f(x);
\)

Нули функции:
\(
x^3 — 9x = 0;
\quad (x + 3)x(x — 3) = 0;
\quad x_1 = -3, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 3;
\)

\(
y(0) = 0;
\)

Множество значений:
\( E(y) = (-\infty; +\infty); \)

График функции:

2) \( f(x) = x^4 — 2x^2 — 3; \)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x \geq 0;
\quad 4x(x^2 — 1) \geq 0;
\)
\(
\quad (x + 1) x (x — 1) \geq 0;
\quad -1 \leq x \leq 0, \quad x \geq 1;
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\min} = -1, \quad y(-1) = 1 — 2 — 3 = -4;
\)
\(
x_{\min} = 1, \quad y(1) = 1 — 2 — 3 = -4;
\)
\(
x_{\max} = 0, \quad y(0) = 0 — 0 — 3 = -3;
\)

Функция чётная:
\(
f(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 — 3;
\quad f(-x) = x^4 — 2x^2 — 3 = f(x);
\)

Нули функции:
\( x^4 — 2x^2 — 3 = 0; \)

Дискриминант:
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:} \)

\(
x_1^2 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2^2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{3};
\)

\(
y(0) = 0 — 0 — 3 = -3;
\)

Множество значений:
\( E(y) = [-4; +\infty); \)

График функции:

3) \( f(x) = 6x^2 — 2x^3; \)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 6 \cdot 2x — 2 \cdot 3x^2 \geq 0;
\quad 12x — 6x^2 \geq 0;
\quad 6x(x — 2) \leq 0;
\quad 0 \leq x \leq 2;
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\min} = 0, \quad y(0) = 0 — 0 = 0;
\)
\(
x_{\max} = 2, \quad y(2) = 24 — 16 = 8;
\)

Нули функции:
\(
6x^2 — 2x^3 = 0;
\)
\(
2x^2(3 — x) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3;
\)

\(
y(0) = 0 — 0 = 0;
\)

Множество значений:
\( E(y) = (-\infty; +\infty); \)

График функции:

4) \( f(x) = (x^2 — 2)^2; \)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 2 \cdot 2x (x^2 — 2) \geq 0;
\)
\(
(x + \sqrt{2}) x (x — \sqrt{2}) \geq 0;
\)

\(
-\sqrt{2} \leq x \leq 0, \quad x \geq \sqrt{2};
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\min} = -\sqrt{2}, \quad y(-\sqrt{2}) = (2 — 2)^2 = 0;
\)
\(
x_{\min} = \sqrt{2}, \quad y(\sqrt{2}) = (2 — 2)^2 = 0;
\)
\(
x_{\max} = 0, \quad y(0) = (0 — 2)^2 = 4;
\)

Функция чётная:
\(
f(-x) = ((-x)^2 — 2)^2;
\)
\(
f(-x) = (x^2 — 2)^2 = f(x);
\)

Нули функции:
\(
(x^2 — 2)^2 = 0;
\)
\(
x^2 — 2 = 0;
\)
\(
x^2 = 2;
\)
\(
x = \pm \sqrt{2};
\)

\(
y(0) = (0 — 2)^2 = 4;
\)

Множество значений:
\( E(y) = [0; +\infty); \)

График функции:

5)
\(
f(x) = 4 + x^2 — \frac{1}{4} x^4;
\)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 2x — \frac{1}{4} \cdot 4x^3 \geq 0;
\)
\(
x^3 — 2x \leq 0;
\)
\(
(x + \sqrt{2}) x (x — \sqrt{2}) \leq 0;
\)
\(
x \leq -\sqrt{2}, \quad 0 \leq x \leq \sqrt{2};
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\min} = 0, \quad y(0) = 4 + 0 — 0 = 4;
\)
\(
x_{\max} = -\sqrt{2}, \quad y(-\sqrt{2}) = 4 + 2 — 1 = 5;
\)
\(
x_{\max} = \sqrt{2}, \quad y(\sqrt{2}) = 4 + 2 — 1 = 5;
\)

Функция чётная:
\(
f(-x) = 4 + (-x)^2 — \frac{1}{4} (-x)^4;
\)
\(
f(-x) = 4 + x^2 — \frac{1}{4} x^4 = f(x);
\)

Нули функции:
\(
4 + x^2 — \frac{1}{4} x^4 = 0;
\)
\(
x^4 — 4x^2 — 16 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 16 = 16 + 64 = 80,
\)

тогда:
\(
x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{4 \pm 4 \sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2 \sqrt{5};
\)
\(
x = \pm \sqrt{2 + 2 \sqrt{5}};
\)

\(
y(0) = 4 + 0 — 0 = 4;
\)

Множество значений:
\( E(y) = (-\infty; 5]; \)

График функции:

6)
\(
f(x) = \frac{x^2}{x^2 — 4};
\)

Область определения:
\(
x^2 — 4 \neq 0;
\)
\(
x^2 \neq 4;
\)
\(
x \neq \pm 2;
\)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = \frac{2x(x^2 — 4) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
\(
2x^3 — 8x — 2x^3 \geq 0;
\)
\(
-8x \geq 0, \quad x \leq 0;
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\max} = 0, \quad y(0) = \frac{0}{0 — 4} = 0;
\)

Функция чётная:
\(
f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 — 4} = \frac{x^2}{x^2 — 4} = f(x);
\)

Нули функции:
\(
\frac{x^2}{x^2 — 4} = 0;
\)
\(
x^2 = 0, \quad x = 0;
\)
\(
y(0) = \frac{0}{0 — 4} = 0;
\)

Предел функции:
\(
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 — 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 — \frac{4}{x^2}} = \frac{1}{1 — 0} = 1;
\)

Множество значений:
\( E(y) = (-\infty; 0] \cup (1; +\infty); \)

График функции:

7)
\(
f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}; \quad \text{© reshak.ru}
\)

Область определения:
\(
x^2 \neq 0, \quad x \neq 0;
\)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 2x — \frac{2}{x^3} \geq 0;
\)
\(
\frac{2x^4 — 2}{x^3} \geq 0;
\)
\(
\frac{2(x^2 + 1)(x^2 — 1)}{x} \geq 0;
\)
\(
\frac{(x+1)(x-1)}{x} \geq 0;
\)
\(
-1 \leq x < 0, \quad x \geq 1;
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\min} = -1, \quad y(-1) = 1 + \frac{1}{1} = 2;
\)
\(
x_{\min} = 1, \quad y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2;
\)

Функция чётная:
\(
f(-x) = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2};
\)
\(
f(-x) = x^2 + \frac{1}{x^2} = f(x);
\)

Нули функции:
\(
x^2 + \frac{1}{x^2} = 0;
\)
\(
x \in \emptyset;
\)

Предел функции:
\(
\lim_{x \to \infty} \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x^2} = +\infty;
\)

Множество значений:
\( E(y) = [2; +\infty); \)

График функции:

8)
\( f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2}; \)

Область определения:
\( D = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
\( f'(x) = \frac{2x(x^2 + 2) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} \geq 0; \)
\( 2x^3 + 4x — 2x^3 \geq 0; \)
\( 4x \geq 0, \quad x \geq 0; \)

Точки экстремума:
\( x_{\min} = 0, \quad y(0) = \frac{0}{0 + 2} = 0; \)

Функция чётная:
\( f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 + 2} = \frac{x^2}{x^2 + 2} = f(x); \)

Нули функции:
\(
\frac{x^2}{x^2 + 2} = 0;
\)
\(
x^2 = 0, \quad x = 0;
\)
\(
y(0) = \frac{0}{0 + 2} = 0;
\)

Предел функции:
\(
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{1}{1 + 0} = 1;
\)

Множество значений:
\( E(y) = [0; 1); \)

График функции:

1) \( f(x) = x^3 — 9x; \)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 3x^2 — 9 \geq 0;
\)
\(
x^2 — 3 \geq 0;
\)
\(
(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) \geq 0;
\)
\(
x \leq -\sqrt{3}, \quad x \geq \sqrt{3};
\)

Точки экстремума:
Для нахождения точек экстремума находим \( f'(x) = 0 \):
\(
3x^2 — 9 = 0;
\)
\(
x^2 = 3;
\)
\(
x = \pm \sqrt{3};
\)

Теперь вычислим значения функции в этих точках:
\(
x_{\min} = \sqrt{3}, \quad y(\sqrt{3}) = f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 — 9(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} — 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3};
\)
\(
x_{\max} = -\sqrt{3}, \quad y(-\sqrt{3}) = f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 — 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} =
\)
\(
= 6\sqrt{3};
\)

Функция нечётная:
Проверяем, является ли функция нечётной:
\(
f(-x) = (-x)^3 — 9(-x);
\)
\(
f(-x) = -x^3 + 9x;
\)
\(
f(-x) = -f(x);
\)

Нули функции:
Для нахождения нулей функции решаем уравнение:
\(
x^3 — 9x = 0;
\)
Факторизуем:
\(
x(x^2 — 9) = 0;
\)
\(
(x + 3)(x — 3) = 0;
\)
Таким образом, получаем нули:
\(
x_1 = -3, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 3;
\)

Вычислим значение функции в нуле:
\(
y(0) = f(0) = 0;
\)

Множество значений:
\( E(y) = (-\infty; +\infty); \)

График функции:

2) \( f(x) = x^4 — 2x^2 — 3; \)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x \geq 0;
\)
\(
4x(x^2 — 1) \geq 0;
\)
\(
(x + 1) x (x — 1) \geq 0;
\)
\(
-1 \leq x \leq 0, \quad x \geq 1;
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\min} = -1, \quad y(-1) = (-1)^4 — 2(-1)^2 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4;
\)
\(
x_{\min} = 1, \quad y(1) = (1)^4 — 2(1)^2 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4;
\)
\(
x_{\max} = 0, \quad y(0) = (0)^4 — 2(0)^2 — 3 = 0 — 0 — 3 = -3;
\)

Функция чётная:
\(
f(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 — 3;
\)
\(
f(-x) = x^4 — 2x^2 — 3 = f(x);
\)

Нули функции:
\( x^4 — 2x^2 — 3 = 0; \)

Дискриминант:
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:} \)

\(
x_1^2 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2^2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{3};
\)

\(
y(0) = (0)^4 — 2(0)^2 — 3 = -3;
\)

Множество значений:
\( E(y) = [−4; +\infty); \)

График функции:

3) \( f(x) = 6x^2 — 2x^3; \)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
Для нахождения промежутка возрастания находим производную функции:
\(
f'(x) = 6 \cdot 2x — 2 \cdot 3x^2 \geq 0;
\)
\(
f'(x) = 12x — 6x^2 \geq 0;
\)
\(
6x(x — 2) \leq 0;
\)
Решаем неравенство:
\(
0 \leq x \leq 2;
\)

Точки экстремума:
Для нахождения точек экстремума приравниваем производную к нулю:
\(
f'(x) = 0;
\)
\(
12x — 6x^2 = 0;
\)
\(
6x(2 — x) = 0;
\)
Следовательно, \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Теперь вычислим значения функции в этих точках:
\(
x_{\min} = 0, \quad y(0) = f(0) = 6(0)^2 — 2(0)^3 = 0 — 0 = 0;
\)
\(
x_{\max} = 2, \quad y(2) = f(2) = 6(2)^2 — 2(2)^3 = 24 — 16 = 8;
\)

Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:
\(
6x^2 — 2x^3 = 0;
\)
\(
2x^2(3 — x) = 0;
\)
Следовательно, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 3 \).

Теперь вычислим значение функции в нуле:
\(
y(0) = f(0) = 6(0)^2 — 2(0)^3 = 0 — 0 = 0;
\)

Множество значений:
\( E(y) = (-\infty; +\infty); \)

График функции:

4) \( f(x) = (x^2 — 2)^2; \)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
Для нахождения промежутка возрастания находим производную функции:
\(
f'(x) = 2 \cdot 2x (x^2 — 2) \geq 0;
\)
\(
f'(x) = 4x(x^2 — 2) \geq 0;
\)
Решаем неравенство:
\(
(x + \sqrt{2}) x (x — \sqrt{2}) \geq 0;
\)
Находим нули производной:
\(
x = -\sqrt{2}, \quad x = 0, \quad x = \sqrt{2};
\)
Теперь исследуем знак произведения на интервалах:
\(
-\sqrt{2} \leq x \leq 0, \quad x \geq \sqrt{2};
\)

Точки экстремума:
Для нахождения точек экстремума вычисляем значения функции в найденных точках:
\(
x_{\min} = -\sqrt{2}, \quad y(-\sqrt{2}) = f(-\sqrt{2}) = ((-\sqrt{2})^2 — 2)^2 = (2 — 2)^2 = 0;
\)
\(
x_{\min} = \sqrt{2}, \quad y(\sqrt{2}) = f(\sqrt{2}) = ((\sqrt{2})^2 — 2)^2 = (2 — 2)^2 = 0;
\)
\(
x_{\max} = 0, \quad y(0) = f(0) = (0 — 2)^2 = 4;
\)

Функция чётная:
Проверяем, является ли функция чётной:
\(
f(-x) = ((-x)^2 — 2)^2;
\)
\(
f(-x) = (x^2 — 2)^2 = f(x);
\)

Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:
\(
(x^2 — 2)^2 = 0;
\)
Следовательно,
\(
x^2 — 2 = 0;
\)
\(
x^2 = 2;
\)
\(
x = \pm \sqrt{2};
\)

Теперь находим значение функции в точке \( x = 0 \):
\(
y(0) = (0 — 2)^2 = 4;
\)

Множество значений:
\( E(y) = [0; +\infty); \)

График функции:

5)
\(
f(x) = 4 + x^2 — \frac{1}{4} x^4;
\)

Область определения:
\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
Для нахождения промежутка возрастания находим производную функции:
\(
f'(x) = 2x — \frac{1}{4} \cdot 4x^3 \geq 0;
\)
\(
f'(x) = 2x — x^3 \geq 0;
\)
Переписываем неравенство:
\(
x^3 — 2x \leq 0;
\)
Факторизуем:
\(
x(x^2 — 2) \leq 0;
\)
Находим корни:
\(
x(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) \leq 0;
\)
Теперь исследуем знак произведения на интервалах:
\(
x \leq -\sqrt{2}, \quad 0 \leq x \leq \sqrt{2};
\)

Точки экстремума:
Для нахождения точек экстремума вычисляем значения функции в найденных точках:
\(
x_{\min} = 0, \quad y(0) = f(0) = 4 + 0 — 0 = 4;
\)
\(
x_{\max} = -\sqrt{2}, \quad y(-\sqrt{2}) = f(-\sqrt{2}) = 4 + 2 — 1 = 5;
\)
\(
x_{\max} = \sqrt{2}, \quad y(\sqrt{2}) = f(\sqrt{2}) = 4 + 2 — 1 = 5;
\)

Функция чётная:
Проверяем, является ли функция чётной:
\(
f(-x) = 4 + (-x)^2 — \frac{1}{4} (-x)^4;
\)
\(
f(-x) = 4 + x^2 — \frac{1}{4} x^4 = f(x);
\)

Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:
\(
4 + x^2 — \frac{1}{4} x^4 = 0;
\)
Умножаем на 4 для упрощения:
\(
16 + 4x^2 — x^4 = 0;
\)
Переписываем в стандартном виде:
\(
x^4 — 4x^2 — 16 = 0;
\)

Дискриминант:
Для решения уравнения используем дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80;
\)

Находим корни уравнения:
Тогда, используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:
\(
x^2 = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{4 \pm 4 \sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2 \sqrt{5};
\)
Следовательно,
\(
x = \pm \sqrt{2 + 2\sqrt{5}};
\)

Значение функции в нуле:
\(
y(0) = f(0) = 4 + 0 — 0 = 4;
\)

Множество значений:
\( E(y) = (-\infty; 5]; \)

График функции:

6)
\(
f(x) = \frac{x^2}{x^2 — 4};
\)

Область определения:
Для нахождения области определения решим неравенство:
\(
x^2 — 4 \neq 0;
\)
Следовательно,
\(
x^2 \neq 4;
\)
Это приводит к тому, что
\(
x \neq \pm 2;
\)
Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty);
\)

Промежуток возрастания:
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{2x(x^2 — 4) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = \frac{2x^3 — 8x — 2x^3}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
Это приводит к:
\(
-8x \geq 0;
\)
Следовательно,
\(
x \leq 0;
\)

Точки экстремума:
Для нахождения точек экстремума вычисляем значение функции в найденной точке:
\(
x_{\max} = 0, \quad y(0) = f(0) = \frac{0}{0 — 4} = 0;
\)

Функция чётная:
Проверяем, является ли функция чётной:
\(
f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 — 4} = \frac{x^2}{x^2 — 4} = f(x);
\)

Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:
\(
\frac{x^2}{x^2 — 4} = 0;
\)
Это приводит к:
\(
x^2 = 0, \quad x = 0;
\)
Следовательно,
\(
y(0) = \frac{0}{0 — 4} = 0;
\)

Предел функции:
Находим предел функции при \( x \to \infty \):
\(
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 — 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 — \frac{4}{x^2}} = \frac{1}{1 — 0} = 1;
\)

Множество значений:
Таким образом, множество значений функции будет:
\( E(y) = (-\infty; 0] \cup (1; +\infty); \)

График функции:

7)
\(
f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}; \quad \text{© reshak.ru}
\)

Область определения:
Для нахождения области определения решим неравенство:
\(
x^2 \neq 0, \quad x \neq 0;
\)
Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);
\)

Промежуток возрастания:
Находим производную функции:
\(
f'(x) = 2x — \frac{2}{x^3} \geq 0;
\)
Упрощаем неравенство:
\(
\frac{2x^4 — 2}{x^3} \geq 0;
\)
Факторизуем:
\(
\frac{2(x^2 + 1)(x^2 — 1)}{x} \geq 0;
\)
Это приводит к:
\(
\frac{(x + 1)(x — 1)}{x} \geq 0;
\)
Теперь исследуем знак произведения на интервалах:
\(
-1 \leq x < 0, \quad x \geq 1;
\)

Точки экстремума:
Для нахождения точек экстремума вычисляем значения функции в найденных точках:
\(
x_{\min} = -1, \quad y(-1) = f(-1) = 1 + \frac{1}{1} = 2;
\)
\(
x_{\min} = 1, \quad y(1) = f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2;
\)

Функция чётная:
Проверяем, является ли функция чётной:
\(
f(-x) = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2};
\)
Это приводит к:
\(
f(-x) = x^2 + \frac{1}{x^2} = f(x);
\)

Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:
\(
x^2 + \frac{1}{x^2} = 0;
\)
Поскольку \( x^2 \geq 0 \) и \( \frac{1}{x^2} > 0 \), то \( x \in \emptyset; \)

Предел функции:
Находим предел при \( x \to \infty \):
\(
\lim_{x \to \infty} \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x^2} = +\infty;
\)

Множество значений:
\( E(y) = [2; +\infty); \)

График функции:

8)
\(
f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2};
\)

Область определения:
\( D = (-\infty; +\infty); \)

Промежуток возрастания:
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{2x(x^2 + 2) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} \geq 0;
\)
Упрощаем:
\(
f'(x) = \frac{2x^3 + 4x — 2x^3}{(x^2 + 2)^2} \geq 0;
\)
Это приводит к:
\(
4x \geq 0;
\)
Следовательно,
\(
x \geq 0;
\)

Точки экстремума:
Для нахождения точек экстремума вычисляем значение функции в найденной точке:
\(
x_{\min} = 0, \quad y(0) = f(0) = \frac{0}{0 + 2} = 0;
\)

Функция чётная:
Проверяем, является ли функция чётной:
\(
f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 + 2} = \frac{x^2}{x^2 + 2} = f(x);
\)

Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем её к нулю:
\(
\frac{x^2}{x^2 + 2} = 0;
\)
Следовательно,
\(
x^2 = 0, \quad x = 0;
\)
Таким образом,
\(
y(0) = \frac{0}{0 + 2} = 0;
\)

Предел функции:
Находим предел функции при \( x \to \infty \):
\(
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{1}{1 + 0} = 1;
\)

Множество значений:
\( E(y) = [0; 1); \)

График функции: