ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.399 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите общий вид первообразных для функций:

1) \( f(x) = x — \frac{2}{x^5} \) на промежутке \((- \infty; 0)\);

2) \( f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \) на промежутке \((0; +\infty)\);

3) \( f(x) = \frac{2}{\cos^2(2x)} + \frac{3}{\sin^2(3x)} \) на промежутке \(\left( \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right)\);

4) \( f(x) = 2 + \frac{4}{x — 1} \) на промежутке \((- \infty; 1)\);

5) \( f(x) = e^{5x} — 7e^{-4x} \) на промежутке \((- \infty; +\infty)\);

6) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} — \cos\left(\frac{x}{4}\right) \) на промежутке \((- \frac{1}{2}; +\infty)\).

1)
\( f(x) = x — \frac{2}{x^5}, \quad x \in (-\infty; 0); \)
\( F(x) = \frac{x^2}{2} — 2 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + C; \)

2)
\( f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad x \in (0; +\infty); \)
\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{x} = -\frac{1}{x^3} + \sqrt{x} + C; \)

3)
\( f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}, \quad x \in \left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right); \)
\( F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \tan 2x + 3 \cdot \frac{1}{3} (-\cot 3x); \)
\( F(x) = \tan 2x — \cot 3x + C; \)

4)
\( f(x) = 2 + \frac{4}{x-1}, \quad x \in (-\infty; 1); \)
\( F(x) = 2x + 4 \ln (1-x) + C; \)

5)
\( f(x) = e^{5x} — 7e^{-4x}, \quad x \in (-\infty; +\infty); \)
\( F(x) = \frac{1}{5} e^{5x} — 7 \cdot \left(-\frac{1}{4} e^{-4x}\right); \)
\( F(x) = \frac{1}{5} e^{5x} + \frac{7}{4} e^{-4x} + C; \)

6)
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} — \cos \frac{x}{4}, \quad x \in \left(-\frac{1}{2}; +\infty\right); \)
\( F(x) = 2 \sqrt{2x+1} — 4 \sin \frac{x}{4} + C; \)

1)
\( f(x) = x — \frac{2}{x^5}, \quad x \in (-\infty; 0); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int \left( x — \frac{2}{x^5} \right) dx = \int x \, dx — 2 \int x^{-5} dx
\)
Первая часть:
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)
Вторая часть:
\(
\int x^{-5} dx = \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4x^4}
\)
Умножаем на -2:
\(
-2 \cdot \left(-\frac{1}{4x^4}\right) = \frac{2}{4x^4} = \frac{1}{2x^4}
\)
Итого:
\(
F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + C
\)

2)
\( f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad x \in (0; +\infty); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int \frac{3}{x^4} dx + \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = 3 \int x^{-4} dx + \frac{1}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} dx
\)
Первая часть:
\(
\int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}
\)
Умножаем на 3:
\(
3 \cdot \left(-\frac{1}{3x^3}\right) = -\frac{1}{x^3}
\)
Вторая часть:
\(
\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}
\)
Умножаем на \(\frac{1}{2}\):
\(
\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{x} = \sqrt{x}
\)
Итого:
\(
F(x) = -\frac{1}{x^3} + \sqrt{x} + C
\)

3)
\( f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}, \quad x \in \left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = 2 \int \sec^2 2x \, dx + 3 \int \csc^2 3x \, dx
\)
Известно, что
\(
\frac{d}{dx} \tan ax = a \sec^2 ax, \quad \frac{d}{dx} (-\cot ax) = a \csc^2 ax
\)
Тогда:
\(
\int \sec^2 2x \, dx = \frac{1}{2} \tan 2x
\)
\(
\int \csc^2 3x \, dx = -\frac{1}{3} \cot 3x
\)
Подставляем:
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \tan 2x + 3 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cot 3x\right) + C = \tan 2x — \cot 3x + C
\)

4)
\( f(x) = 2 + \frac{4}{x-1}, \quad x \in (-\infty; 1); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int 2 \, dx + \int \frac{4}{x-1} dx = 2x + 4 \int \frac{1}{x-1} dx
\)
\(
\int \frac{1}{x-1} dx = \ln |x-1|
\)
Так как область определения \(x < 1\), то \(1 — x > 0\), и можно записать:
\(
\ln |x-1| = \ln (1-x)
\)
Итого:
\(
F(x) = 2x + 4 \ln (1-x) + C
\)

—

5)
\( f(x) = e^{5x} — 7e^{-4x}, \quad x \in (-\infty; +\infty); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int e^{5x} dx — 7 \int e^{-4x} dx = \frac{1}{5} e^{5x} — 7 \cdot \left(-\frac{1}{4} e^{-4x}\right) + C
\)
\(
F(x) = \frac{1}{5} e^{5x} + \frac{7}{4} e^{-4x} + C
\)

6)
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} — \cos \frac{x}{4}, \quad x \in \left(-\frac{1}{2}; +\infty\right); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx — \int \cos \frac{x}{4} dx
\)
Подставим \( t = 2x+1 \), тогда \( dt = 2 dx \), \( dx = \frac{dt}{2} \):
\(
\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t} = \sqrt{2x+1}
\)
Для второго интеграла:
\(
\int \cos \frac{x}{4} dx = 4 \sin \frac{x}{4}
\)
Итого:
\(
F(x) = \sqrt{2x+1} — 4 \sin \frac{x}{4} + C
\)