ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.400 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для функции \( f \) найдите на указанном промежутке \( I \) первообразную \( F \), график которой проходит через данную точку \( M \):

1) \( f(x) = 2x + 4, \quad I = (-\infty; +\infty); \quad M(2; 1); \)

2) \( f(x) = 4x^3 — 2x + 3, \quad I = (-\infty; +\infty); \quad M(1; 8); \)

3) \( f(x) = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) — 5\sin(5x), \quad I = (-\infty; +\infty); \quad M\left(\pi; 0\right); \)

4) \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{1 — 2x}}, \quad I = (-\infty; \frac{1}{2}); \quad M(-4; 1); \)

5) \( f(x) = 6x^2 + e^{\frac{x}{4}}, \quad I = (-\infty; +\infty); \quad M(2; 4e); \)

6) \( f(x) = (5x — 3)^4, \quad I = (-\infty; +\infty); \quad M(1; 1). \)

1)
\( f(x) = 2x + 4, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M(2; 1); \)
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x = x^2 + 4x + C;
\)
\(
F(2) = 4 + 8 + C = 1, \quad C = -11;
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^2 + 4x — 11.
\)

2)
\( f(x) = 4x^3 — 2x + 3, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M(1; 8); \)
\(
F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} — 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x = x^4 — x^2 + 3x + C;
\)
\(
F(1) = 1 — 1 + 3 + C = 8, \quad C = 5;
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^4 — x^2 + 3x + 5.
\)

3)
\( f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} — 5 \sin 5x, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M(\pi; 0); \)
\(
F(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{x}{2} — 5 \cdot \frac{1}{5} (-\cos 5x) = \sin \frac{x}{2} + \cos 5x + C;
\)
\(
F(\pi) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos 5\pi + C = 0, \quad C = 0;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \sin \frac{x}{2} + \cos 5x.
\)

4)
\( f(x) = \frac{2}{\sqrt{1 — 2x}}, \quad I = \left(-\infty; \frac{1}{2}\right), \quad M(-4; 1); \)
\(
F(x) = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{1 — 2x} = -2 \sqrt{1 — 2x} + C;
\)
\(
F(-4) = -2 \sqrt{1 + 8} + C = 1, \quad C = 7;
\)
Ответ:
\(
F(x) = -2 \sqrt{1 — 2x} + 7.
\)

5)
\( f(x) = 6x^2 + e^{\frac{x}{4}}, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M\left(2; 4 \sqrt{e}\right); \)
\(
F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot e^{\frac{x}{4}} = 2x^3 + 4 e^{\frac{x}{4}} + C;
\)
\(
F(2) = 2 \cdot 8 + 4 \cdot e^{\frac{1}{2}} + C = 4 \sqrt{e}, \quad C = -16;
\)
Ответ:
\(
F(x) = 2x^3 + 4 e^{\frac{x}{4}} — 16.
\)

6)
\( f(x) = (5x — 3)^4, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M(1; 1); \)
\(
F(x) = \frac{1}{5} (5x — 3)^5 + C = \frac{(5x — 3)^5}{25} + C;
\)
\(
F(1) = \frac{(5 \cdot 1 — 3)^5}{25} + C = 1, \quad C = -\frac{7}{25};
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{(5x — 3)^5 — 7}{25}.
\)

1)
\( f(x) = 2x + 4, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M(2; 1); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x = x^2 + 4x + C;
\)
Теперь подставим точку \( M(2; 1) \):
\(
F(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 + C = 4 + 8 + C = 1;
\)
Решим уравнение для \( C \):
\(
12 + C = 1 — C = 1 — 12 = -11;
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^2 + 4x — 11.
\)

2)
\( f(x) = 4x^3 — 2x + 3, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M(1; 8); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} — 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x = x^4 — x^2 + 3x + C;
\)
Теперь подставим точку \( M(1; 8) \):
\(
F(1) = 1^4 — 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 1 — 1 + 3 + C = 8;
\)
Решим уравнение для \( C \):
\(
3 + C = 8 — C = 8 — 3 = 5;
\)
Ответ:
\(
F(x) = x^4 — x^2 + 3x + 5.
\)

3)
\( f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} — 5 \sin 5x, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M(\pi; 0); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{x}{2} — 5 \cdot \frac{1}{5} (-\cos 5x) = \sin \frac{x}{2} + \cos 5x + C;
\)
Теперь подставим точку \( M(\pi; 0) \):
\(
F(\pi) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos(5\pi) + C = 1 — 1 + C = 0;
\)
Решим уравнение для \( C \):
\(
C = 0;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \sin \frac{x}{2} + \cos 5x.
\)

4)
\( f(x) = \frac{2}{\sqrt{1 — 2x}}, \quad I = \left(-\infty; \frac{1}{2}\right), \quad M(-4; 1); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{1 — 2x} = -2 \sqrt{1 — 2x} + C;
\)
Теперь подставим точку \( M(-4; 1) \):
\(
F(-4) = -2 \sqrt{1 — 2(-4)} + C = -2 \sqrt{1 + 8} + C = -2 \sqrt{9} + C = -6 + C;
\)
Решим уравнение для \( C \):
\(
-6 + C = 1 — C = 1 + 6 = 7;
\)
Ответ:
\(
F(x) = -2 \sqrt{1 — 2x} + 7.
\)

5)
\( f(x) = 6x^2 + e^{\frac{x}{4}}, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M\left(2; 4 \sqrt{e}\right); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + e^{\frac{x}{4}} = 2x^3 + 4 e^{\frac{x}{4}} + C;
\)
Теперь подставим точку \( M(2; 4 \sqrt{e}) \):
\(
F(2) = 2 \cdot 8 + 4 e^{\frac{2}{4}} + C = 16 + 4 e^{\frac{1}{2}} + C;
\)
Уравнение для \( C \):
\(
16 + 4 e^{\frac{1}{2}} + C = 4 \sqrt{e};
\)
Решим для \( C \):
\(
C = 4 \sqrt{e} — 16 — 4 e^{\frac{1}{2}} = -16;
\)
Ответ:
\(
F(x) = 2x^3 + 4 e^{\frac{x}{4}} — 16.
\)

6)
\( f(x) = (5x — 3)^4, \quad I = (-\infty; +\infty), \quad M(1; 1); \)
Найдём первообразную \( F(x) \):
\(
F(x) = \frac{1}{5} (5x — 3)^5 + C = \frac{(5x — 3)^5}{25} + C;
\)
Теперь подставим точку \( M(1; 1) \):
\(
F(1) = \frac{(5 \cdot 1 — 3)^5}{25} + C = \frac{(5 — 3)^5}{25} + C = \frac{2^5}{25} + C = \frac{32}{25} + C;
\)
Уравнение для \( C \):
\(
\frac{32}{25} + C = 1;
\)
Решим для \( C \):
\(
C = 1 — \frac{32}{25} = \frac{25}{25} — \frac{32}{25} = -\frac{7}{25};
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{(5x — 3)^5 — 7}{25}.
\)