ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.401 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Тело движется прямолинейно со скоростью, которая в любой момент времени \( t \) определяется по закону \( v(t) = t^2 \). Определите закон движения тела, если за первые 3 секунды движения тело прошло путь 10 метров.

Точка движется по закону:
\(
v(t) = t^2, \quad s(3) = 10 \text{ м};
\)

Пройденный путь:
\(
s(t) = \frac{t^3}{3} + C;
\)
\(
s(3) = \frac{3^3}{3} + C = 10;
\)
\(
9 + C = 10, \quad C = 1;
\)

Ответ:
\(
s(t) = \frac{t^3}{3} + 1.
\)

Точка движется по закону:
\(
v(t) = t^2, \quad s(3) = 10 \text{ м};
\)

Скорость точки \( v(t) \) является производной пути \( s(t) \) по времени \( t \). То есть, мы можем записать:
\(
v(t) = \frac{ds}{dt} = t^2.
\)

Чтобы найти закон движения, необходимо интегрировать скорость \( v(t) \):
\(
s(t) = \int v(t) \, dt = \int t^2 \, dt.
\)

Интегрируя, получаем:
\(
s(t) = \frac{t^3}{3} + C,
\)
где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь подставим известное значение пути в момент времени \( t = 3 \):
\(
s(3) = \frac{3^3}{3} + C = 10.
\)

Вычислим \( s(3) \):
\(
s(3) = \frac{27}{3} + C = 9 + C.
\)

Теперь подставим это в уравнение:
\(
9 + C = 10.
\)

Решим уравнение для \( C \):
\(
C = 10 — 9 = 1.
\)

Таким образом, закон движения тела будет:
\(
s(t) = \frac{t^3}{3} + 1.
\)