ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.402 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Задайте формулой функцию \( f \), график которой проходит через точку \( A(4; 3) \), если угловой коэффициент касательной к графику этой функции в любой точке \( x \) из её области определения равен \( \frac{1}{\sqrt{x}} \).

Дана функция \( y = f(x) \):
\( A(4; 3) \in f(x), \quad f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}; \)

\(
f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} + C;
\)
\(
f(4) = 2 \sqrt{4} + C = 3;
\)
\(
4 + C = 3, \quad C = -1;
\)

Ответ:
\(
f(x) = 2 \sqrt{x} — 1.
\)

Дана функция \( y = f(x) \):
\( A(4; 3) \in f(x), \quad f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}; \)

Сначала заметим, что производная \( f'(x) \) равна \( \frac{1}{\sqrt{x}} \). Это означает, что мы можем найти функцию \( f(x) \) путем интегрирования производной.

Интегрируем \( f'(x) \):
\(
f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx.
\)

Интеграл \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) равен:
\(
f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} + C,
\)
где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение константы \( C \), подставим известную точку \( A(4; 3) \), которая принадлежит графику функции:
\(
f(4) = 2 \sqrt{4} + C = 3.
\)

Вычислим \( f(4) \):
\(
f(4) = 2 \cdot 2 + C = 4 + C.
\)

Теперь подставим это в уравнение:
\(
4 + C = 3.
\)

Решим уравнение для \( C \):
\(
C = 3 — 4 = -1.
\)

Таким образом, закон функции будет:
\(
f(x) = 2 \sqrt{x} — 1.
\)