ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.403 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите интегралы:

1) \(\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2}\);
2) \(\int_{0}^{\pi} (6 \cos(4x) — 3 \sin(x)) \, dx\);
3) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2(3x + \frac{\pi}{6})}\);
4) \(\int_{-2}^{1} (x^2 — 2x + 4) \, dx\);
5) \(\int_{1}^{3} \left( \frac{4}{x} — x \right) \, dx\);
6) \(\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}}\);
7) \(\int_{0}^{2} (3x — 2)^3 \, dx\);
8) \(\int_{2}^{4} e^{-x} \, dx\);
9) \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{4x + 1}\).

1)
\(
\int_1^3 \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} \Big|_1^3 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3};
\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

2)
\(
\int_0^\pi (6 \cos 4x — 3 \sin x) dx = \left(6 \cdot \frac{1}{4} \sin 4x + 3 \cos x \right)\Big|_0^\pi =
\)
\(
= \left(\frac{3}{2} \sin 4\pi + 3 \cos \pi \right) — \left(\frac{3}{2} \sin 0 + 3 \cos 0 \right) = -3 — 3 = -6;
\)
Ответ: \(-6\).

3)
\(
\int_0^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\frac{1}{3} \cot \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \Big|_0^{\frac{\pi}{18}} =
\)
\(
= -\frac{1}{3} \cot \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{3} \cot \left(0 + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{3} \cot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{3} \cot \frac{\pi}{6} =
\)
\(
= -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9};
\)
Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}}{9}\).

4)
\(
\int_{-2}^1 (x^2 — 2x + 4) dx = \left(\frac{x^3}{3} — 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x \right) \Big|_{-2}^1 =
\)
\(
= \left(\frac{1^3}{3} — 1^2 + 4 \cdot 1 \right) — \left(\frac{(-2)^3}{3} — 2 \cdot \frac{(-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2) \right) =
\)
\(
= \left(\frac{1}{3} — 1 + 4 \right) — \left(-\frac{8}{3} — 4 — 8 \right) = \frac{1}{3} + 3 — \left(-\frac{8}{3} — 12 \right) =
\)
\(
= \frac{1}{3} + 3 + \frac{8}{3} + 12 = \frac{9}{3} + 15 = 18;
\)
Ответ: 18.

5)
\(
\int_1^3 \left( \frac{4}{x} — x \right) dx = \left( 4 \ln |x| — \frac{x^2}{2} \right) \Big|_1^3 =
\)
\(
= \left( 4 \ln 3 — \frac{9}{2} \right) — \left( 4 \ln 1 — \frac{1}{2} \right) = 4 \ln 3 — 4;
\)
Ответ: \(4 \ln 3 — 4\).

6)
\(
\int_{-2}^2 \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2x + 5} \Big|_{-2}^2 =
\)
\(
= \sqrt{4 + 5} — \sqrt{-4 + 5} = 3 — 1 = 2;
\)
Ответ: 2.

7)
\(
\int_0^2 (3x — 2)^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x — 2)^4}{4} \Big|_0^2 =
\)
\(
= \frac{(6 — 2)^4}{12} — \frac{(0 — 2)^4}{12} = \frac{256 — 16}{12} = 20;
\)
Ответ: 20.

8)
\(
\int_2^4 e^{-x} dx = -e^{-x} \Big|_2^4 = -e^{-4} + e^{-2} = \frac{e^2 — 1}{e^4};
\)
Ответ: \(\frac{e^2 — 1}{e^4}\).

9)
\(
\int_0^5 \frac{dx}{4x + 1} = \frac{1}{4} \ln |4x + 1| \Big|_0^5 =
\)
\(
= \frac{1}{4} \ln (20 + 1) — \frac{1}{4} \ln (0 + 1) = \frac{1}{4} \ln 21;
\)
Ответ: \(\frac{1}{4} \ln 21\).

1)
\(
\int_1^3 \frac{dx}{x^2} = \int_1^3 x^{-2} dx
\)
Проинтегрируем:
\(
\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{x} \Big|_1^3 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{1} = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}
\)
Ответ:
\(
\frac{2}{3}
\).

2)
\(
\int_0^\pi (6 \cos 4x — 3 \sin x) dx = \int_0^\pi 6 \cos 4x \, dx — \int_0^\pi 3 \sin x \, dx
\)
Интегрируем по частям:
\(
\int \cos 4x \, dx = \frac{1}{4} \sin 4x
\)
\(
\int \sin x \, dx = -\cos x
\)
Тогда:
\(
\int_0^\pi 6 \cos 4x \, dx = 6 \cdot \frac{1}{4} \sin 4x \Big|_0^\pi = \frac{3}{2} (\sin 4\pi — \sin 0) = 0
\)
\(
\int_0^\pi (-3 \sin x) dx = -3 (-\cos x) \Big|_0^\pi = 3 (\cos \pi — \cos 0) = 3(-1 — 1) = -6
\)
Складываем:
\(
0 — 6 = -6
\)
Ответ:
\(
-6
\).

3)
\(
\int_0^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)} = \int_0^{\frac{\pi}{18}} \csc^2 \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) dx
\)
Известно, что
\(
\int \csc^2 u \, du = -\cot u + C
\)
Пусть
\(
u = 3x + \frac{\pi}{6} — du = 3 dx — dx = \frac{du}{3}
\)
Тогда:
\(
\int \csc^2 (u) dx = \int \csc^2 (u) \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \csc^2 u \, du = -\frac{1}{3} \cot u + C
\)
Подставляем пределы:
\(
-\frac{1}{3} \cot \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \Big|_0^{\frac{\pi}{18}} = -\frac{1}{3} \cot \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{3} \cot \left(\frac{\pi}{6}\right)
\)
Вычисляем значения:
\(
\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}
\)
Подставляем:
\(
-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{-\sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}
\)
Ответ:
\(
\frac{2 \sqrt{3}}{9}
\).

4)
\(
\int_{-2}^1 (x^2 — 2x + 4) dx = \int_{-2}^1 x^2 dx — 2 \int_{-2}^1 x dx + 4 \int_{-2}^1 dx
\)
Вычислим по отдельности:
\(
\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int dx = x
\)
Тогда:
\(
\left( \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^1 — 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) \Big|_{-2}^1 + 4 x \Big|_{-2}^1 =
\)
\(
\left( \frac{1^3}{3} — \frac{(-2)^3}{3} \right) — \left( 1^2 — (-2)^2 \right) + \left( 4 \cdot 1 — 4 \cdot (-2) \right) =
\)
Подставим числовые значения:
\(
\frac{1}{3} — \left(-\frac{8}{3}\right) — (1 — 4) + (4 + 8) =
\)
\(
\frac{1}{3} + \frac{8}{3} — (-3) + 12 =
\)
\(
\frac{9}{3} + 3 + 12 = 3 + 3 + 12 = 18
\)
Ответ:
\(
18
\).

5)
\(
\int_1^3 \left( \frac{4}{x} — x \right) dx = \int_1^3 \frac{4}{x} dx — \int_1^3 x \, dx
\)
Вычислим каждый интеграл отдельно:
\(
\int \frac{4}{x} dx = 4 \int \frac{1}{x} dx = 4 \ln |x| + C
\)
\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C
\)
Тогда:
\(
\int_1^3 \left( \frac{4}{x} — x \right) dx = \left( 4 \ln |x| — \frac{x^2}{2} \right) \Big|_1^3
\)
Подставляем пределы:
\(
\left( 4 \ln 3 — \frac{9}{2} \right) — \left( 4 \ln 1 — \frac{1}{2} \right) = 4 \ln 3 — \frac{9}{2} — 0 + \frac{1}{2} = 4 \ln 3 — 4
\)
Ответ:
\(
4 \ln 3 — 4
\).

6)
\(
\int_{-2}^2 \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}} = \int_{-2}^2 (2x + 5)^{-\frac{1}{2}} dx
\)
Пусть
\(
u = 2x + 5 — du = 2 dx — dx = \frac{du}{2}
\)
При \(x = -2\), \(u = 2(-2) + 5 = 1\)
При \(x = 2\), \(u = 2(2) + 5 = 9\)
Тогда интеграл становится:
\(
\int_1^9 u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^9 u^{-\frac{1}{2}} du
\)
Интегрируем:
\(
\int u^{-\frac{1}{2}} du = 2 u^{\frac{1}{2}} + C
\)
Подставляем:
\(
\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} \Big|_1^9 = u^{\frac{1}{2}} \Big|_1^9 = \sqrt{9} — \sqrt{1} = 3 — 1 = 2
\)
Ответ:
\(
2
\).

7)
\(
\int_0^2 (3x — 2)^3 dx
\)
Пусть
\(
u = 3x — 2 — du = 3 dx — dx = \frac{du}{3}
\)
При \(x=0\), \(u = -2\)
При \(x=2\), \(u = 6 — 2 = 4\)
Тогда интеграл:
\(
\int_{-2}^4 u^3 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{-2}^4 u^3 du
\)
Интегрируем:
\(
\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C
\)
Подставляем пределы:
\(
\frac{1}{3} \cdot \frac{u^4}{4} \Big|_{-2}^4 = \frac{1}{12} (4^4 — (-2)^4) = \frac{1}{12} (256 — 16) = \frac{240}{12} = 20
\)
Ответ:
\(
20
\).

8)
\(
\int_2^4 e^{-x} dx
\)
Интеграл:
\(
\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C
\)
Подставляем пределы:
\(
-e^{-x} \Big|_2^4 = -e^{-4} + e^{-2} = e^{-2} — e^{-4}
\)
Можно записать в виде:
\(
\frac{e^{2} — 1}{e^{4}}
\)
Ответ:
\(
\frac{e^{2} — 1}{e^{4}}
\).

9)
\(
\int_0^5 \frac{dx}{4x + 1}
\)
Подставим \(u = 4x + 1\), тогда \(du = 4 dx\), \(dx = \frac{du}{4}\).
При \(x=0\), \(u=1\), при \(x=5\), \(u=21\).
Тогда интеграл:
\(
\int_1^{21} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int_1^{21} \frac{du}{u} = \frac{1}{4} \ln |u| \Big|_1^{21} = \frac{1}{4} (\ln 21 — \ln 1) = \frac{1}{4} \ln 21
\)
Ответ:
\(
\frac{1}{4} \ln 21
\).