ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.404 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) \( y = x^3 + 1 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \);
2) \( y = 2 — x^2 \), \( y = 0 \);
3) \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 3 \);
4) \( y = e^{-x} \), \( y = 1 \), \( x = -2 \);
5) \( y = -x^2 + 4 \), \( x + y = 4 \);
6) \( y = \frac{4}{x^2} \), \( y = x — 1 \), \( x = 1 \);
7) \( y = x^2 — 4x + 5 \), \( y = 5 — x \);
8) \( y = 8 — x^2 \), \( y = 4 \);
9) \( y = x^2 \), \( y = 4x — x^2 \);
10) \( y = \frac{5}{x} \), \( y = 4x + 1 \), \( x = 2 \).

1)
\( y = x^3 + 1, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = 2; \)
\(
S = \int_0^2 (x^3 + 1) dx = \left( \frac{x^4}{4} + x \right)_0^2 = \left( \frac{16}{4} + 2 \right) — \left( 0 + 0 \right) = 4 + 2 = 6;
\)
Ответ: 6.

2)
\( y = 2 — x^2, \quad y = 0; \)
Точки пересечения:
\(
2 — x^2 = 0; \quad x^2 = 2; \quad x = \pm \sqrt{2};
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 — x^2) dx = \left( 2x — \frac{x^3}{3} \right)_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} =
\)
\(
= \left( 2 \sqrt{2} — \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right) — \left( -2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right) =
\)
\(
= 4 \sqrt{2} — \frac{4 \sqrt{2}}{3} = 4 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8 \sqrt{2}}{3};
\)
Ответ:
\(
\frac{8 \sqrt{2}}{3}.
\)

3)
\( y = \frac{1}{x}, \quad y = 0, \quad x = 1, \quad x = 3; \)
\(
S = \int_1^3 \frac{dx}{x} = \ln |x| \Big|_1^3 = \ln 3 — \ln 1 = \ln 3;
\)
Ответ:
\(
\ln 3.
\)

4)
\( y = e^{-x}, \quad y = 1, \quad x = -2; \)
Точки пересечения:
\(
e^{-x} = 1; \quad -x = 0; \quad x = 0;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-2}^0 (e^{-x} — 1) dx = \left(-e^{-x} — x \right)_{-2}^0 = \left(-e^0 — 0 \right) — \left(-e^2 + 2 \right) = e^2 — 3;
\)
Ответ:
\(
e^2 — 3.
\)

5)
\( y = -x^2 + 4, \quad x + y = 4; \)
Точки пересечения:
\(
-x^2 + 4 = 4 — x; \quad x^2 — x = 0; \quad x(x — 1) = 0; \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^1 \left(-x^2 + 4 — 4 + x \right) dx = \int_0^1 (x — x^2) dx = \left( \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right)_0^1 =
\)
\(
= \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3}\right) — (0 — 0) = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6};
\)
Ответ:
\(
\frac{1}{6}.
\)

6)
\( y = \frac{4}{x^2}, \quad y = x — 1, \quad x = 1; \)
Точки пересечения:
\(
\frac{4}{x^2} = x — 1;
\)
\(
4 = x^3 — x^2;
\)
\(
x^3 — x^2 — 4 = 0;
\)
\(
(x — 2)(x^2 + x + 2) = 0;
\)
\(
x = 2;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_1^2 \left(\frac{4}{x^2} — x + 1 \right) dx = \left(-\frac{4}{x} — \frac{x^2}{2} + x \right)_1^2 =
\)
\(
= (-2 — 2 + 2) — \left(-4 — \frac{1}{2} + 1 \right) = 1 + 0{,}5 = 1{,}5;
\)
Ответ: 1,5.

7)
\(
y = x^2 — 4x + 5, \quad y = 5 — x;
\)
Точки пересечения:
\(
x^2 — 4x + 5 = 5 — x;
\)
\(
x^2 — 3x = 0;
\)
\(
x(x — 3) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^3 \left(x^2 — 4x + 5 — 5 + x \right) dx = \int_0^3 (x^2 — 3x) dx =
\)
\(
= \left(\frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} \right)_0^3 = \left(\frac{27}{3} — \frac{27}{2}\right) — (0 — 0) = \frac{27}{3} — \frac{27}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5;
\)
Ответ: 4,5.

8)
\(
y = 8 — x^2, \quad y = 4;
\)
Точки пересечения:
\(
8 — x^2 = 4;
\)
\(
x^2 = 4;
\)
\(
x = \pm 2;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-2}^2 (8 — x^2 — 4) dx = \int_{-2}^2 (4 — x^2) dx = \left(4x — \frac{x^3}{3}\right)_{-2}^2 =
\)
\(
= \left(8 — \frac{8}{3}\right) — \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 — \frac{16}{3} = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3};
\)
Ответ:
\(
\frac{32}{3}.
\)

9)
\(
y = x^2, \quad y = 4x — x^2;
\)
Точки пересечения:
\(
x^2 = 4x — x^2;
\)
\(
2x^2 — 4x = 0;
\)
\(
2x(x — 2) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^2 (x^2 — 4x + x^2) dx = \int_0^2 (2x^2 — 4x) dx =
\)
\(
= \left(\frac{2x^3}{3} — 2x^2 \right)_0^2 = \left(\frac{16}{3} — 8 \right) — (0 — 0) = \frac{16}{3} — 8 = \frac{8}{3};
\)
Ответ:
\(
\frac{8}{3}.
\)

10)
\(
y = \frac{5}{x}, \quad y = 4x + 1, \quad x = 2;
\)
Точки пересечения:
\(
\frac{5}{x} = 4x + 1;
\)
\(
5 = 4x^2 + x;
\)
\(
4x^2 + x — 5 = 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 5 = 1 + 80 = 81;
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{4}, \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_1^2 \left(4x + 1 — \frac{5}{x} \right) dx = \left( 2x^2 + x — 5 \ln|x| \right)_1^2 =
\)
\(
= \left(16/2 + 2 — 5 \ln 2 \right) — \left(2 + 1 — 5 \ln 1 \right) = (8 + 2 — 5 \ln 2) — (3 — 0) =
\)
\(
= 7 — 5 \ln 2;
\)
Ответ:
\(
7 — 5 \ln 2.
\)

1)
\( y = x^3 + 1, \quad y = 0, \quad x = 0, \quad x = 2; \)
Площадь фигуры вычисляется интегралом
\(
S = \int_0^2 (x^3 + 1) \, dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_0^2 (x^3 + 1) \, dx = \left( \frac{x^4}{4} + x \right)_0^2 = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \right) — \left( \frac{0^4}{4} + 0 \right) = \left( \frac{16}{4} + 2 \right) — 0 =
\)
\(
= 4 + 2 = 6.
\)
Ответ:
\(
6.
\)

2)
\( y = 2 — x^2, \quad y = 0; \)
Найдём точки пересечения:
\(
2 — x^2 = 0 — x^2 = 2 — x = \pm \sqrt{2}.
\)
Площадь фигуры равна
\(
S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 — x^2) \, dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 — x^2) \, dx = \left( 2x — \frac{x^3}{3} \right)_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \left( 2 \sqrt{2} — \frac{(\sqrt{2})^3}{3} \right) — \left( 2(-\sqrt{2}) — \frac{(-\sqrt{2})^3}{3} \right).
\)
Вычислим кубы:
\(
(\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}, \quad (-\sqrt{2})^3 = -2 \sqrt{2}.
\)
Подставим:
\(
= \left( 2 \sqrt{2} — \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right) — \left( -2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right).
\)
Раскроем скобки:
\(
= 2 \sqrt{2} — \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} — \frac{2 \sqrt{2}}{3} = 4 \sqrt{2} — \frac{4 \sqrt{2}}{3}.
\)
Вынесем общий множитель:
\(
4 \sqrt{2} — \frac{4 \sqrt{2}}{3} = 4 \sqrt{2} \left( 1 — \frac{1}{3} \right) = 4 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8 \sqrt{2}}{3}.
\)
Ответ:
\(
\frac{8 \sqrt{2}}{3}.
\)

3)
\( y = \frac{1}{x}, \quad y = 0, \quad x = 1, \quad x = 3; \)
Площадь фигуры вычисляется как
\(
S = \int_1^3 \frac{1}{x} \, dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_1^3 \frac{1}{x} \, dx = \left( \ln |x| \right)_1^3 = \ln 3 — \ln 1 = \ln 3 — 0 = \ln 3.
\)
Ответ:
\(
\ln 3.
\)

4)
\( y = e^{-x}, \quad y = 1, \quad x = -2; \)
Найдём точки пересечения:
\(
e^{-x} = 1 — -x = 0 — x = 0.
\)
Площадь фигуры равна
\(
S = \int_{-2}^0 (e^{-x} — 1) \, dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int (e^{-x} — 1) \, dx = \int e^{-x} \, dx — \int 1 \, dx = -e^{-x} — x + C.
\)
Подставим пределы:
\(
S = \left( -e^{-x} — x \right)_{-2}^0 = \left( -e^{0} — 0 \right) — \left( -e^{2} + 2 \right) = (-1 — 0) — (-e^{2} + 2) =
\)
\(
= -1 + e^{2} — 2 = e^{2} — 3.
\)
Ответ:
\(
e^{2} — 3.
\)

5)
\( y = -x^2 + 4, \quad x + y = 4; \)
Выразим из второго уравнения \( y \):
\(
y = 4 — x.
\)
Найдём точки пересечения:
\(
-x^2 + 4 = 4 — x — -x^2 + 4 — 4 + x = 0 — -x^2 + x = 0 — x(-x + 1) = 0.
\)
Отсюда
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1.
\)
Площадь фигуры равна
\(
S = \int_0^1 \left( (-x^2 + 4) — (4 — x) \right) dx = \int_0^1 (-x^2 + 4 — 4 + x) \, dx =
\)
\(
= \int_0^1 (x — x^2) \, dx.
\)
Вычислим интеграл:
\(
\int_0^1 (x — x^2) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right)_0^1 = \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right) — (0 — 0) = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.
\)
Ответ:
\(
\frac{1}{6}.
\)

6)
\( y = \frac{4}{x^2}, \quad y = x — 1, \quad x = 1; \)
Точки пересечения находятся из уравнения
\(
\frac{4}{x^2} = x — 1,
\)
умножим обе части на \( x^2 \):
\(
4 = x^3 — x^2,
\)
перенесём все в одну сторону:
\(
x^3 — x^2 — 4 = 0.
\)
Разложим на множители:
\(
(x — 2)(x^2 + x + 2) = 0.
\)
Корень \( x = 2 \) — единственный действительный.

Площадь фигуры вычисляется интегралом
\(
S = \int_1^2 \left(\frac{4}{x^2} — (x — 1) \right) dx = \int_1^2 \left(\frac{4}{x^2} — x + 1 \right) dx.
\)
Интегрируем по частям:
\(
\int \frac{4}{x^2} dx = \int 4 x^{-2} dx = 4 \int x^{-2} dx = 4 \left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{4}{x},
\)
\(
\int (-x) dx = -\frac{x^2}{2}, \quad \int 1 dx = x.
\)
Подставляем пределы:
\(
S = \left(-\frac{4}{x} — \frac{x^2}{2} + x \right)_1^2 = \left(-\frac{4}{2} — \frac{2^2}{2} + 2 \right) — \left(-\frac{4}{1} — \frac{1^2}{2} + 1 \right).
\)
Вычисляем численно:
\(
= (-2 — 2 + 2) — (-4 — \frac{1}{2} + 1) = (-2) — (-3.5) = -2 + 3.5 = 1.5.
\)
Ответ:
\(
1.5.
\)

7)
\(
y = x^2 — 4x + 5, \quad y = 5 — x,
\)
находим точки пересечения:
\(
x^2 — 4x + 5 = 5 — x,
\)
переносим всё в левую часть:
\(
x^2 — 4x + 5 — 5 + x = 0 — x^2 — 3x = 0,
\)
факторизуем:
\(
x(x — 3) = 0,
\)
отсюда
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3.
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^3 \left( (x^2 — 4x + 5) — (5 — x) \right) dx = \int_0^3 (x^2 — 4x + 5 — 5 + x) dx =
\)
\(
= \int_0^3 (x^2 — 3x) dx.
\)
Интегрируем:
\(
\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int (-3x) dx = -\frac{3x^2}{2}.
\)
Подставляем пределы:
\(
S = \left(\frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} \right)_0^3 = \left(\frac{27}{3} — \frac{27}{2}\right) — (0 — 0) = 9 — \frac{27}{2} = \frac{18}{2} — \frac{27}{2} = -\frac{9}{2}.
\)
Площадь не может быть отрицательной, значит надо брать модуль или поменять порядок вычитания: верхняя функция — \( y = 5 — x \), нижняя — \( y = x^2 — 4x + 5 \), значит
\(
S = \int_0^3 \left( (5 — x) — (x^2 — 4x + 5) \right) dx = \int_0^3 (-x^2 + 3x) dx.
\)
Интегрируем:
\(
\int (-x^2) dx = -\frac{x^3}{3}, \quad \int 3x dx = \frac{3x^2}{2}.
\)
Подставляем пределы:
\(
S = \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right)_0^3 = \left(-\frac{27}{3} + \frac{27}{2}\right) — 0 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18}{2} + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} = 4.5.
\)
Ответ:
\(
4.5.
\)

8)
\(
y = 8 — x^2, \quad y = 4,
\)
находим точки пересечения:
\(
8 — x^2 = 4 — x^2 = 4 — x = \pm 2.
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_{-2}^2 \left( (8 — x^2) — 4 \right) dx = \int_{-2}^2 (4 — x^2) dx.
\)
Интегрируем:
\(
\int 4 dx = 4x, \quad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}.
\)
Подставляем пределы:
\(
S = \left(4x — \frac{x^3}{3} \right)_{-2}^2 = \left(8 — \frac{8}{3} \right) — \left(-8 + \frac{-8}{3}\right).
\)
Обратите внимание, что \((-2)^3 = -8\), так
\(
= \left(8 — \frac{8}{3}\right) — \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 8 — \frac{8}{3} + 8 — \frac{8}{3} = 16 — \frac{16}{3} = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.
\)
Ответ:
\(
\frac{32}{3}.
\)

9)
\(
y = x^2, \quad y = 4x — x^2,
\)
находим точки пересечения:
\(
x^2 = 4x — x^2,
\)
переносим в одну сторону:
\(
2x^2 — 4x = 0,
\)
факторизуем:
\(
2x(x — 2) = 0,
\)
отсюда
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2.
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^2 \left( (4x — x^2) — x^2 \right) dx = \int_0^2 (4x — 2x^2) dx.
\)
Интегрируем:
\(
\int 4x dx = 2x^2, \quad \int 2x^2 dx = \frac{2x^3}{3}.
\)
Подставляем пределы:
\(
S = \left(2x^2 — \frac{2x^3}{3} \right)_0^2 = \left(8 — \frac{16}{3}\right) — 0 = \frac{24}{3} — \frac{16}{3} = \frac{8}{3}.
\)
Ответ:
\(
\frac{8}{3}.
\)

10)
\(
y = \frac{5}{x}, \quad y = 4x + 1, \quad x = 2,
\)
находим точки пересечения:
\(
\frac{5}{x} = 4x + 1,
\)
умножаем на \( x \):
\(
5 = 4x^2 + x,
\)
переносим в одну сторону:
\(
4x^2 + x — 5 = 0.
\)
Вычисляем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2 \cdot 4} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}, \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1.
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \int_1^2 \left( (4x + 1) — \frac{5}{x} \right) dx = \int_1^2 \left(4x + 1 — \frac{5}{x}\right) dx.
\)
Интегрируем:
\(
\int 4x dx = 2x^2, \quad \int 1 dx = x, \quad \int \frac{5}{x} dx = 5 \ln|x|.
\)
Подставляем пределы:
\(
S = \left( 2x^2 + x — 5 \ln|x| \right)_1^2 = \left( 2 \cdot 2^2 + 2 — 5 \ln 2 \right) — \left( 2 \cdot 1^2 + 1 — 5 \ln 1 \right).
\)
Вычисляем численно:
\(
= (8 + 2 — 5 \ln 2) — (2 + 1 — 0) = (10 — 5 \ln 2) — 3 = 7 — 5 \ln 2.
\)
Ответ:
\(
7 — 5 \ln 2.
\)