ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.405 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите интеграл:

1) \(\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx\)

2) \(\int_{-1}^{1} (1 — |x|) \, dx\)

1)
\(
\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx;
\)

Дан полукруг:
\(
12 — x^2 \geq 0;
\)
\(
(x + 2\sqrt{3})(x — 2\sqrt{3}) \leq 0; \quad -2\sqrt{3} \leq x \leq 2\sqrt{3};
\)
\(
y(0) = \sqrt{12} = 2\sqrt{3};
\)
\(
x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad R = 2\sqrt{3};
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 12 = 6\pi;
\)

Ответ: \(6\pi\).

2)
\(
\int_{-1}^{1} \sqrt{1 — |x|} \, dx;
\)

Дан треугольник:
\(
1 — |x| \geq 0;
\)
\(
|x| \leq 1; \quad -1 \leq x \leq 1;
\)
\(
y(0) = \sqrt{1} = 1;
\)
\(
a = 1 + 1 = 2, \quad h = 1;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1;
\)

Ответ: \(1\).

Вычислить интеграл:

1)
\(
\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx;
\)

Дан полукруг:
\(
12 — x^2 \geq 0;
\)
Это неравенство выполняется, когда
\(
x^2 \leq 12 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{12} \leq x \leq \sqrt{12} \quad \Rightarrow \quad -2\sqrt{3} \leq x \leq 2\sqrt{3}.
\)
Таким образом, область интегрирования соответствует полукругу радиуса \(R = 2\sqrt{3}\).

Найдем значение функции в центре:
\(
y(0) = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
\)
Также отметим, что
\(
x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad R = 2\sqrt{3}.
\)

Площадь фигуры:
Площадь полукруга вычисляется по формуле:
\(
S = \frac{1}{2} \pi R^2.
\)
Подставим значение радиуса:
\(
S = \frac{1}{2} \pi (2\sqrt{3})^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 12 = 6\pi.
\)

Ответ: \(6\pi\).

2)
\(
\int_{-1}^{1} \sqrt{1 — |x|} \, dx;
\)

Дан треугольник:
Неравенство для функции:
\(
1 — |x| \geq 0;
\)
Это неравенство выполняется, когда
\(
|x| \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq x \leq 1.
\)

Найдем значение функции в центре:
\(
y(0) = \sqrt{1} = 1.
\)
Далее определим основание и высоту треугольника:
\(
a = 1 + 1 = 2, \quad h = 1.
\)

Площадь фигуры:
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
\(
S = \frac{1}{2} a h.
\)
Подставим значения:
\(
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1.
\)

Ответ: \(1\).