ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть
\(
A = ( x \mid x = 6n, \; n \in \mathbb{Z} )
\)

и
\(
B = ( x \mid x = 6n — 3, \; n \in \mathbb{Z} )
\)

Каково множество \(A \cup B\)?

Найти объединение множеств A и B:

1) \( A = \{ x \mid x = 6n, \; n \in \mathbb{Z} \} \);
\( A = \{ x \mid x = 3(2n), \; (2n) \in \mathbb{Z} \} \);

2) \( B = \{ x \mid x = 6n — 3, \; n \in \mathbb{Z} \} \);
\( B = \{ x \mid x = 3(2n — 1), \; (2n — 1) \in \mathbb{Z} \} \);

Ответ:
\( A \cup B = \{ x \mid x = 3n, \; n \in \mathbb{Z} \} \).

Найти объединение множеств A и B:

Пусть
\(
A = \{ x \mid x = 6n, \; n \in \mathbb{Z} \}
\)

Каждое число \( x \) из множества \( A \) делится на 6, то есть оно также делится на 3, поскольку \( 6n = 3 \cdot (2n) \). Таким образом,
\(
A = \{ x \mid x = 3(2n), \; (2n) \in \mathbb{Z} \}
\)

Рассмотрим множество
\(
B = \{ x \mid x = 6n — 3, \; n \in \mathbb{Z} \}
\)

Преобразуем выражение для \( x \) из \( B \):
\(
x = 6n — 3 = 3(2n — 1)
\)

Поскольку \( n \) пробегает все целые значения, \( 2n — 1 \) также пробегает все нечётные целые значения. Значит,
\(
B = \{ x \mid x = 3(2n — 1), \; (2n — 1) \in \mathbb{Z} \}
\)

Объединение множеств \( A \) и \( B \) состоит из всех чисел, которые можно записать либо в виде \( 3(2n) \), либо в виде \( 3(2n — 1) \), где \( n \) — целое число. То есть, объединение включает все числа, кратные 3 (так как \( 3(2n) \) — это все чётные кратные 3, а \( 3(2n — 1) \) — все нечётные кратные 3).

Таким образом,
\(
A \cup B = \{ x \mid x = 3n, \; n \in \mathbb{Z} \}
\)