ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.55 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть даны множества \( A \), \( B \), \( C \). Используя диаграммы Эйлера, проиллюстрируйте следующие свойства операций над множествами:

1) \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)

2) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)

1) \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \);

2) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \);

1) \(
((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C))
\)

Это свойство называется ассоциативностью объединения множеств. Оно означает, что при объединении трёх множеств неважно, какие из них объединять первыми — результат будет одинаковым.
Если сначала объединить множества A и B, а затем к полученному объединению добавить множество C, то получим то же самое, что если сначала объединить множества B и C, а затем добавить множество A:

\(
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
\)

Графически на диаграмме Эйлера это выглядит так: все области, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A, B или C, будут закрашены. Независимо от порядка объединения, результатом будет множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих трёх множеств.

2) (A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C))

Это свойство называется дистрибутивностью пересечения относительно объединения. Оно означает, что если взять пересечение множества A с объединением множеств B и C, то это то же самое, что объединить пересечения A с B и A с C:

\(
((A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C))
\)

То есть, элемент принадлежит левому выражению тогда и только тогда, когда он принадлежит A и одновременно принадлежит хотя бы одному из множеств B или C.
В правой части элемент принадлежит либо одновременно A и B, либо одновременно A и C.

На диаграмме Эйлера это выражается в том, что заштрихованная область — это объединение двух пересечений: области, где одновременно находятся A и B, и области, где одновременно находятся A и C.
То есть, области, которые входят либо в оба множества A и B, либо в оба множества A и C.