ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.56 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
1) \ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
\)

\(
2) \quad A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
\)

1) \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \);

2) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \);

\(
1) \ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
\)

Это свойство называется ассоциативностью пересечения. Оно утверждает, что не имеет значения, в каком порядке брать пересечение трёх множеств — результат всегда будет одинаковым.

Рассмотрим элементы множества:

Пусть \( x \) — произвольный элемент.

\(
x \in (A \cap B) \cap C \iff (x \in A \cap B) \text{ и } (x \in C)
\)

\(
\iff (x \in A \text{ и } x \in B) \text{ и } x \in C
\)

\(
\iff x \in A \text{ и } x \in B \text{ и } x \in C
\)

Аналогично:

\(
x \in A \cap (B \cap C) \iff (x \in A) \text{ и } (x \in B \cap C)
\)

\(
\iff x \in A \text{ и } (x \in B \text{ и } x \in C)
\)

\(
\iff x \in A \text{ и } x \in B \text{ и } x \in C
\)

Таким образом,

\(
(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
\)

\(
2) \quad A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
\)

Это называется дистрибутивностью объединения относительно пересечения.

Пусть \( x \) — произвольный элемент.

\(
x \in A \cup (B \cap C) \iff (x \in A) \text{ или } (x \in B \text{ и } x \in C)
\)

Теперь рассмотрим правую часть:

\(
x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \iff (x \in A \cup B) \text{ и } (x \in A \cup C)
\)

\(
\iff (x \in A \text{ или } x \in B) \text{ и } (x \in A \text{ или } x \in C)
\)

Рассмотрим все возможные варианты для \( x \):

1. Если \( x \in A \), то оба условия выполняются.
2. Если \( x \notin A \), то нужно, чтобы \( x \in B \) и \( x \in C \).

Таким образом,

\(
x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \iff x \in A \text{ или } (x \in B \text{ и } x \in C)
\)

Это совпадает с левой частью:

\(
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
\)