ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.93 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что не существует таких значений \( x \) и \( y \), при которых многочлены

\(
f(x, y) = 5x^2 — 8xy — 3y^2
\)

и

\(
g(x, y) = -4x^2 + 8xy + 5y^2
\)

одновременно принимали бы отрицательные значения, то есть

\(
f(x, y) < 0 \quad \text{и} \quad g(x, y) < 0.
\)

Доказать, что не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых одновременно выполняется:

\(
5x^2 — 8xy — 3y^2 < 0, \quad -4x^2 + 8xy + 5y^2 < 0;
\)

\(
(5x^2 — 8xy — 3y^2) + (-4x^2 + 8xy + 5y^2) \geq 0;
\)

\(
x^2 + 2y^2 \geq 0;
\)

Что и требовалось доказать.

Для доказательства того, что не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых одновременно выполняются условия

\(
5x^2 — 8xy — 3y^2 < 0
\)

и

\(
-4x^2 + 8xy + 5y^2 < 0,
\)

начнем с того, что сложим два неравенства.

Обозначим:

\(
f(x, y) = 5x^2 — 8xy — 3y^2,
\)

\(
g(x, y) = -4x^2 + 8xy + 5y^2.
\)

Тогда мы можем записать:

\(
f(x, y) + g(x, y) = (5x^2 — 8xy — 3y^2) + (-4x^2 + 8xy + 5y^2).
\)

Упростим это выражение:

\(
f(x, y) + g(x, y) = (5x^2 — 4x^2) + (-8xy + 8xy) + (-3y^2 + 5y^2) = x^2 + 2y^2.
\)

Теперь мы имеем:

\(
f(x, y) + g(x, y) = x^2 + 2y^2.
\)

Следовательно, если оба неравенства выполняются, то:

\(
f(x, y) < 0 \quad \text{и} \quad g(x, y) < 0 — f(x, y) + g(x, y) < 0.
\)

Однако мы только что показали, что:

\(
f(x, y) + g(x, y) = x^2 + 2y^2 \geq 0,
\)

так как сумма квадратов всегда неотрицательна. Это противоречие указывает на то, что не могут одновременно выполняться оба условия.

Таким образом, мы приходим к выводу, что не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых одновременно выполняются условия:

\(
5x^2 — 8xy — 3y^2 < 0 \quad \text{и} \quad -4x^2 + 8xy + 5y^2 < 0.
\)

Что и требовалось доказать.